48. Такаги-Сугено модель оу в пространстве состояний

ТС нечеткие модели или так называемые нечеткие динамические модели могут быть использованы для описания сложных многомерных систем с применением одновременно как нечетких базовых правил, так и локальных динамических моделей. При этом одно из правил, например, l - е правило для l –ой локальной динамической модели можно представить в следующем виде

Если x₁ есть A_1l …и x_n есть A_nl, то x[i+1]= A_lx[i]+ B_lu[i], y[i] = C_lx[i], l= , (1)

где N число правил, A_jl (j=1,2,…n) нечеткие множества, x[i]=(x₁[i], x₂[i],…,x_n[i])^’ вектор состояния, u[i] =(u₁[i], u₂[i],…, u_r[i])^’ вектор входа (управляющий сигнал), y[i]= (y₁[i], y₂[i],…, y_m[i])^’ вектор выхода (управляемая величина), n порядок системы, и (A_l, B_l, C_l) матрицы l –ой локальной динамической модели в переменных состояния.

Начало координат x[i]=0 является состоянием равновесия нечеткой системы (1).

Используя стандартный метод нечеткой инференции, т.е. используя синглтонную фаззификацию, логическое произведение для вычисления степени истинности правил и центр тяжести для дефаззификации, ТС нечеткую модель (1) можно представить как

x[i+1]= A( )x[i]+B( )u[i],

y[i] = C( )x[i], (2)

где (3)

есть нормированная степень истинности условий l – го правила, определяемая выражением .(4) здесь (5) степень истинности l-го правила, и есть степень принадлежности переменной состояния x_i к нечеткому множеству A_il, причем (6)

Заметим, что модель (2) является естественно нелинейной моделью, т.к. функции принадлежности являются нелинейными функциями переменных состояния, которые в общем случае могут быть измеренными значениями переменных состояния или оценками переменных состояния.

Модель (2) фактически является нечеткой моделью в переменных состояния.

ТС нечеткая модель содержит знания двоякого рода, а именно, качественные знания, представленные правилами ЕСЛИ-ТО, и с другой стороны, количественные знания, представленными локальными линейными моделями.

Возникают два вопроса:

1) Как построить такую ТС модель? Разработаны главным образом два вида подходов, одним из которых является линеаризация исходной нелинейной системы (объекта) в нескольких рабочих точках, если модель системы известна, и который является прямым методом, и другой подход, основанный на экспериментальных данных вход-выход для исходной модели, если модель системы неизвестна (или задана в форме «черного ящика»). Второй подход получил название нечеткой идентификации;

2) Является ли система (объект управления) устойчивым?

49. Нечеткие множества. Синглтоны и лингвистические переменные.

Строго говоря, нечеткое множество A есть совокупность упорядоченных пар A = {(x, (x))} (1.6)

Э лемент x принадлежит универсуму и (x) - степень его принадлежности в множестве A. Отдельно взятая пара (x, (x)) называется синглтоном, т.е. множеством, состоящим из одного элемента. Точнее, синглтоном называется нечеткое множество, состоящее из одного элемента x_i и степень его (элемента) принадлежности к этому множеству равна 1, т.е. (x_i)=1 (см. рисунок)

Часто удобно записывать нечеткое множество A с дискретным универсумом как вектор a = ( (x₁), (x₂),…, (x_n)),состоящий из степеней принадлежности всех элементов этого множества. Само собой разумеется, что каждому индексу i (1,2,…,n) соответствует точка в универсуме из n точек. В дальнейшем мы в ряде случаев будем такой вектор называть нечетким множеством. Дело в том, что операции над нечеткими множествами сводятся к операциям над векторами, подобными вектору a.

Лингвистические переменные

Подобно тому, как алгебраические переменные имеют своими значениями числа, лингвистические переменные в качестве своих переменных имеют слова или словосочетания. Множество значений, которые может принять лингвистическая переменная, называют терм-множеством. Каждое значение в терм-множестве называется термом и является нечетким множеством (нечеткой переменной), определяемым в области базовой переменной. Базовая переменная является универсумом для всех нечетких переменных в терм-множестве.

Иерархия такова: лингвистическая переменная - нечеткие переменные (термы) - базовая переменная (универсум).

П ример (терм-множество). Пусть X лингвистическая переменная с названием «Возраст» (рисунок ниже). Значениями (термами или нечеткими переменными) этой лингвистической переменой могут быть «старый», «очень старый», «не очень старый», «более или менее молодой», «молодой», «совсем молодой» из терм-множества Т={старый, очень старый, не очень старый, более-менее молодой, молодой, совсем молодой}. Каждый терм является нечеткой переменой, заданной в области базовой переменной возраст, которая может быть шкалой от 0 до 100 лет.

Основные (главные) термы. Основными термами являются термы или множества, которые должны быть заданы априорно, например термы молодой и старый (рис. 1.3). При этом множества совсем молодой и очень старый определяются путем модификации основных множеств (термов) (см. далее).