44. Модель Такаги-Сугено как квазилинейное устройство

Модель ТС можно трактовать как квазилинейное (аффинное) устройство. Чтобы это показать, преобразуем выражение для выхода:

где коэффициенты , ,

представляют собой линейные комбинации параметров , , , а величина

я вляется нормированной степенью истинности (возбуждающей силы) i-го правила. Мы записали явно как функцию e и ce , чтобы подчеркнуть, что контроллер Такаги-Сугено является квазилинейной (аффинной) моделью, т.е. линейной моделью, коэффициенты которой зависят от входных сигналов. Коэффициенты («параметры») , и являются выпуклой линейной комбинацией параметров заключений , , . В этом смысле модель (контроллер) ТС можно рассматривать как устройство, преобразующее пространство входов (условий) в пространство параметров квазилинейной модели, как схематически показано на рис. 4 для r=2, N=9, =0.

Примечание. Политоп – выпуклый многогранник.

Пример 2.4 (Такаги-Сугено). Пусть мы имеем два правила.

1. Если ошибка есть Большая, то выход есть Линия 1.

2. Если ошибка есть Малая, то выход есть Линия 2.

Линия 1 определяется уравнением =0,2*ошибка+90 и линия 2 определяется как =0,6* ошибка +20. Эти правила осуществляют интерполяцию двух линий в диапазоне (рис. 5,a), где функции принадлежности термов Большая и Малая перекрываются (рис. 5,б). Вне этого диапазона выход является линейной функцией ошибки. Этот вывод вытекает из выражения для выхода

.

Подобный вид модели нечеткого логического выхода используется в нейронечетких системах.

Чтобы применить данную модель, точнее нейронечеткую систему, для моделирования динамики конкретного объекта управления, ее вход обычно расширяют за счет прошлых значений сигналов входа u и выхода y этого объекта. В области дискретного времени выход модели y^m с верхним индексом, относящимся к модели, и выход объекта y^p с верхним индексом, относящимся к объекту, связаны как y^m[i+1] = (y^p[i],…, y^p[i − n+1];u[i],…, u[i − m+1]).Здесь представляет собой нелинейную функцию, связывающую выход и вход модели (т.е. аппроксимацию функции f, связывающей выход и вход этого объекта). Разумеется, что речь идет о дискретной модели объекта управления, как это видно из уравнения для y^m[i+1].

45. Контроллер типа Такаги-Сугено

Мы видели, что заключения в лингвистических моделях контроллеров являются нечеткими терм-множествами, однако они могут быть и четкими величинами, линейной комбинацией или даже нелинейной функцией четких входных сигналов. Общая структура N базовых правил Такаги-Сугено (ТС) для контроллера с r входами и одним выходом имеет следующий вид:

Если e₁ есть A_1i, e₂ есть A_2i,…,e_r есть A_ri, то y_i = g_i(e₁, e₂,…, e_r), .

Здесь y_i – выход (заключение) i-го правила, g_i – четкая функция входов e_i, , которые в противоположность лингвистической модели всегда представляют собой четкие переменные. Простой пример (N=1). Если ошибка есть Нуль и скорость ее изменения есть Нуль, то выход u=c, где c – не нечеткая (четкая) постоянная. Эта модель называется моделью ТС нулевого порядка, и она идентична использованию синглтонов в заключениях правил, т.е. синглтонной модели. Несколько более сложное правило выглядит так: Если ошибка есть Нуль и скорость ее изменения есть Нуль, то выход

u = a*( ошибка e) + b*( скорость изменения ошибки ce) + d, где a, b и d – постоянные.

Это модель ТС первого порядка с одним правилом (N=1). Инференция с несколькими правилами осуществляется обычным способом, т.е. степень истинности (возбуждающая сила) , вычисляется для каждого правила. Однако в отличие от рассмотренного ранее метода Мамдани заключение каждого правила является линейной функцией входов, например, ошибки и скорости ее изменения .Заключение (выход) каждого правила можно рассматривать как мобильный синглтон, т. е. как синглтон, позиция которого не фиксирована, а зависит от текущих значений ошибки и скорости ее изменения. Выход (заключение) всех правил в этом методе в результате дефаззификации определяется как взвешенное среднее значение вкладов (метод центра тяжести), вносимых каждым правилом

.

Такой контроллер, можно сказать, осуществляет нелинейную интерполяцию выходных сигналов N линейных контроллеров (рис. 1), каждый из которых в соответствии с одним из базовых правил вырабатывает сигнал, линейно зависящий, скажем, от ошибки и ее скорости изменения. При этом вклад каждого линейного контроллера в выходной сигнал нелинейного контроллера зависит от степени перекрытии ФП терм-множества входа. Это свойство весьма полезно для применения в нелинейных системах управления, где каждый контроллер работает лишь в отведенном ему подпространстве всего пространства состояний. Можно сказать, что базовые правила осуществляют плавную интерполяцию между плоскостями (в частном случае для одного входа (r=1) между прямыми линиями, см. рис. 2,а), наклон которых определяется коэффициентами линейных контроллеров.