34. Алгоритм обучения anfis

Если параметры предпосылок фиксированы, то выход всей сети является линейной комбинацией параметров заключений. В символах этот выход может быть записан в виде

(7) (8) (9)

и он представляет линейную комбинацию параметров заключений (i=1,2; j=0,1,2). Гибридный алгоритм настраивает параметры заключений при прямом распространении сигнала и параметры предпосылок {a_i, b_i, c_i} при обратном распространении сигнала. При прямом распространении сеть передает входные сигналы в прямом направлении до слоя 4, в котором параметры заключений идентифицируются с помощью метода наименьших квадратов или путем псевдоинверсии матрицы. При обратном распространении сигнал ошибки передается в обратном направлении, и параметры предпосылок обновляются с помощью метода обратного распространения ошибки.В связи с тем, что обновления параметров предпосылок и заключений происходят раздельно, в гибридных обучающих алгоритмах можно ускорить процесс вычислений путем использования различных вариантов градиентных методов или других методах оптимизации для настройки параметров предпосылок.

Пример (ANFIS). Посмотрим, как сеть может аппроксимировать нелинейную функцию. Рис. 2 показывает изображение множества данных и результирующую интерполирующую кривую. Одиннадцать точек данных (кружки на рисунке) были предъявлены сети ANFIS. В начале были выбраны параметры двух гауссовских функций принадлежности (рис. 3, слева). Они занимали весь универсум входа с 50 процентным перекрытием между собой. Другим выбором начального шага проектирования был выбор числа правил, т. е. двух правил. В результате обучения эти правила приняли следующий вид,

Если u есть A₁ то y₁ = -18,75u + 249,1, (10)

Если u есть A₂ то y₂ = 23,55u – 276,7. (11)

П равой стороне правил соответствуют две прямые линии, также нарисованные на рис. 2, одна из которых имеет положительный, а другая отрицательный наклон. Интерполирующая кривая является результатом нелинейной комбинации этих двух прямых. Вес значений прямых линий в каждой точке интерполяционной кривой определяется видом функций принадлежности входа (рис. 3, справа), который они приняли после обучения. Одиннадцать точек данных были предъявлены сети 100 раз и каждый раз алгоритм обучения ANFIS обновлял параметры предпосылок, что определило форму и положение двух функций принадлежности, и параметры заключений, что в свою очередь определило наклон и постоянные двух прямых линий, описываемых уравнениями в правой части правил. Начальные значения коэффициентов для этих уравнений были взяты равными нулю.

35. Максиминная композиция нечетких отношений. Внутренне произведение. Пример.

Внутреннее произведение сходно с обычным произведением матриц (символ точка) за исключением того, что операция умножения заменяется пересечением , а операция суммирования заменяется объединением . Предположим, что R – матрица m p, а S – матрица p n. Тогда внутреннее произведение T= есть матрица T = [ ] размерности m n, каждый (ij)- элемент которой находится путем комбинации i- строки матрицы R и j- го столбца матрицы S, так что

, (1.7)

т.е. i- строка матрицы R «умножается» на j - й столбец матрицы S с использованием операции , затем полученный результат «свертывается» в с помощью операции .

В соответствии с данными нами определениями операциям пересечение как операции min и объединение как операции max выражение (1.7) можно записать в виде (1.8).

Композиция, описываемая последним выражением, в литературе называется max-min композицией (максиминной композицией). Если R есть нечеткое отношение между множествами A и , и S есть нечеткое отношение между множествами и C , то композиция (свертка) R и S есть нечеткое отношение между A и C [свойство транзитивности (переходности)], так что

Пример 1.8 (внутреннее произведение). Для отношений и , представленных таблицами

=[0,8 0,9], = , приведенными выше на с. 14, 15, получаем

что совпадает с полученным выше результатом.

Максиминная композиция дистрибутивна по отношению к операции объединение,

,

но не по отношению к операции пересечение. Иногда в выражении (1.8) для максиминной композиции обозначение операции min заменяют *, используемой для обозначения операции алгебраического умножения. Тогда такую композицию называют max-star композицией или чаще max-prod композицией. Заметим, что при проектировании нечетких контроллеров часто используется композиция между нечетким множеством A и отношением R ,тогда T представляет вектор-строку. Находит применение композиция между двумя множествами A и B ,

где - постоянная величина.

Композиция нечетких отношений для непрерывных универсумов

Пусть и - нечеткие отношения. Причем нечеткое отношение задано на декартовом произведении непрерывных универсумов , а нечеткое отношение - на декартовом произведении непрерывных универсумов .

Определение. Нечеткое бинарное отношение , заданное на декартовом произведении и обозначаемое как , называется композицией нечетких отношений и , а его функция принадлежности определяется следующим выражением

для любых . Определенную таким образом композицию нечетких отношений называют максиминной композицией или максиминной сверткой нечетких отношений.