2. Композиция нечетких отношений.

Отношения между нечеткими множествами

В любом нечетком контроллере отношения между множествами играют главную роль. Понятие нечеткого отношения, наряду с понятием самого нечеткого множества, следует отнести к фундаментальным основам всей теории нечетких множеств. Нечеткое отношение часто заменяется терминами нечеткая связь, ассоциация, взаимосвязь или соотношение. Некоторые отношения затрагивают элементы одного и того же универсума: например, одно измерение больше другого, одно событие наступает раньше другого, один элемент похож на другой элемент и т.п. Другие отношения связывают элементы из разных универсумов, например величина измерения большая и его скорость изменения положительная, x- координата (абсцисса) большая и y- координата (ордината) малая. В этих примерах фигурируют отношения между двумя множествами. Однако в принципе могут иметь место отношения, устанавливающие связи между несколькими множествами.

Формально бинарное четкое отношение или просто четкое отношение R между двумя четкими множествами и (отношение между элементами x и y множеств и ) приписывает каждой упорядоченной паре только лишь одно из следующих утверждений: а) «x связано с y» или б) «x не связано с y». Декартово произведение есть множество всех возможных комбинаций элементов и или это то же, что для всех .

Нечеткое отношение R между множествами A и , называемое двуместным нечетким множеством, есть нечеткое подмножество декартового произведения соответствующих им универсумов и . При этом двуместная функция принадлежности , описывающая нечеткое отношение, показывает степень выполнения отношения R между элементами x и y, . Отсюда нечеткие отношения являются более гибкими по сравнению с традиционными (четкими) отношениями. Они позволяют задавать не только сам факт выполнения соотношений, но и указывать степень его выполнения, что является очень важным для многих практических задач, в частности для задач управления. Нечеткое отношение R между множествами A и называют двуместным нечетким множеством с функцией принадлежности . Если множество A состоит из m элементов, а множество из элементов, то является матрицей размерности ( ). По сути дела нечеткое отношение можно считать равным своей функции принадлежности , т.е. можно записать, что .

Композиция нечетких отношений для дискретных универсумов

Общее правило, когда осуществляется комбинация или, другими словами, композиция нечетких отношений, выбрать минимальное значение в «последовательной связи (цепи)» и максимальное значение в «параллельной связи (цепи)». Эти операции удобно реализовать, используя внутреннее произведение. Внутреннее произведение сходно с обычным произведением матриц (точка) за исключением того, что операция умножения заменяется пересечением , а операция суммирования заменяется объединением . Предположим, что R – матрица m p, а S – матрица p n. Тогда внутреннее произведение T= есть матрица T = ( ) размерности m n, каждый (ij)- элемент которой находится путем комбинации i- строки матрицы R и j- го столбца матрицы S, так что , (1.7),т.е. i- строка матрицы R «умножается» на j- й столбец матрицы S с использованием операции , затем полученный результат «свертывается» в с помощью операции . В соответствии с данными нами определениями операциям пересечение как операции min и объединение как операции max выражение (1.7) можно записать в виде .(1.8). Композиция, описываемая последним выражением, в литературе называется max-min композицией (максиминной композицией). Если R есть нечеткое отношение между множествами A и , и S есть нечеткое отношение между множествами и C , то композиция (свертка) R и S есть нечеткое отношение между A и C [свойство транзитивности (переходности)], так что

2. Нечеткое управление с моделью предсказания.

Кроме управления с внутренней моделью к числу продвинутых принципов управления относят так называемое управление с моделью предсказания (МПУ). Контроллер системы управления с моделью предсказания вычисляет настоящее и будущие значения управляющего воздействия на основе информации о текущем состоянии объекта управления или управляемой величины, чтобы принудить модель предсказания, следовательно, и объект управления воспроизводить желаемое задающее воздействие в течение горизонта (интервала) предсказания. Основное достоинство систем МПУ в том, что они объединяют в себе методы оптимального управления, стохастического управления, управления ОУ с запаздыванием и в общем случае управления нелинейными и многомерными ОУ. Управление, основанное на стратегии предсказания, также демонстрирует высокую робастность по отношению к несоответствию модели и к немоделируемой динамике. При таком управлении управляющее воздействие вычисляется онлайн в каждый момент дискретизации путем решения оптимизационной задачи. В этом кроется главное отличие от других известных в настоящее время принципов оптимального управления, в которых используется заранее (предварительно) рассчитанный закон управления. Таким образом, обеспечивается полезный инструмент для управления линейными и нелинейными системами. Управление МПУ не какая-то специфическая стратегия (закон) управления, а стратегия, соответствующая широкому спектру методов управления, инспирированных некоторыми общими ключевыми принципами. Главное узкое место в практическом применении МПУ получение достоверной модели предсказания. Нечеткие модели типа Такаги-Сугено показали на практике свою пригодность для использования в нелинейных системах с МПУ в силу своей способности достаточно точно аппроксимировать свойства сложных нелинейных объектов путем сочетания экспериментальных данных с априорными знаниями.

Рис. 2.4,а

Каждый контроллер цифровой системы МПУ включает в себя четыре блока (рис. 2.4,а).

1.Модель предсказания (прогноза), вытекающую из модели ОУ и позволяющую вычислить будущие значения управляемой величины ={y[i+1|i], y[i+2|i],…, y[i+j|i]} на конечном горизонте [i,i+j]. Например, для линейного объекта управления, описываемого четкой моделью

,модель предсказания имеет вид

Символ |i говорит о том, что для получения прогнозируемых значений используется текущее (настоящее) значение управляемой величины y[i] и текущее и будущие значения , ,…, управляющего воздействия.

Р ис. 2.4,б

Любая модель (типа вход-выход или в переменных состояния), которая описывает динамику ОУ, может быть использована, но в рассматриваемом случае имеется в виду нечеткая (лингвистическая) модель ОУ. Модели возмущающих воздействий и шума измерения (не показаны на схеме) являются частью модели ОУ и служат для предсказания поведения возмущений, влияющих на работу ОУ, а также для повышения робастности системы.

2. Желаемое задающее воздействие как вектор , который описывает, каким должен быть выход объекта управления (управляемая величина) в пределах горизонта управления, т.е. в моменты i+1, i+2,…,i+j.

3. Целевая функция (функция стоимости) , которая выражает требуемые показатели качества работы системы, такие как максимальное абсолютное значение управляющего воздействия , перерегулирование, время переходного процесса и т.д. Другими словами, она определяет свойства замкнутой системы и стратегию управления контроллера. Как правило, целевая функция имеет следующий вид .

4. Процедура оптимизации использует выходную величину модели предсказания для определения управляющего воздействия как вектора в пределах горизонта предсказания, точнее управляющей последовательности ={ } или как вектора

разностей управляющей последовательности ={ },

путем минимизации целевой функции. Цель заключается в том, чтобы минимизировать отклонение между желаемым задающим воздействием и предсказанным значением управляемой величины в пределах горизонта предсказания. Выбор этой процедуры зависит от модели предсказания, целевой функции и ограничений, наложенных на величину управляющего воздействия и переменные состояния системы. Обычно ограничения выглядят так: Оператор q^-1 смещает входную последовательность на один период дискретизации в сторону запаздывания.

Работа системы управления с МПУ. В течение текущего периода дискретизации [(i-1)T, iT] процедура оптимизации производит различные вычисления целевой функции для различных векторов будущего управляющего воздействия или . Модель предсказания использует эти векторы управляющего воздействия, чтобы вычислить будущие значения своего выходного сигнала . В каждый момент дискретизации модель предсказания инициализируется за счет измерения прошлого значения выхода объекта управления y[i] и будущих значений управляющего воздействия. Когда найден оптимальный вектор управляющего воздействия, его первый элемент или поступает на вход ОУ, так что закон управления описывается как или , и контроллер ожидает следующего момента дискретизации, i+1, после которого вся вышеописанная процедура повторяется для смещенного на один период дискретизации горизонта предсказания [i+1, i+j+1] и измеренного выхода ОУ y[i+1]. С каждым новым периодом дискретизации горизонт предсказания все дальше удаляется от момента i. Поэтому управление УМП характеризуют как принцип удаляющегося горизонта. Основная идея управления УМП иллюстрирована с помощью рис. 2.4,б

Заметим, что МПУ-управление можно рассматривать как обобщение системы управления УВМ. На рис. ниже МПУ контроллер встраивается в структуру системы управления УВМ с тем, чтобы скомпенсировать возмущения и ошибки моделирования. Очевидно, что нечеткая модель объекта может быть включена в эту схему с одной стороны для предсказания управляемой величины в УВМ системе (модель ОУ), а с другой стороны

для прогноза будущих значений (модель предсказания), используемых в процедуре оптимизации (стратегия МПУ).

Мы должны иметь в виду, что использование нечетких моделей для предсказания выходов нелинейных объектов означает, что требуется решение задачи невыпуклой оптимизации. Эта время затратная процедура, которая требует значительной мощности компьютера, и большинство методов, связанных с ее решением, не гарантируют получение глобального минимума. В общем случае это обстоятельство затрудняет применение МПУ управления для нелинейных объектов. Однако это общая проблема, характерная для нелинейных систем, не обязательно связанная с нечетким подходом.