22. Нечеткий логический вывод с исп-м отношений. Пример

Нечеткий логический вывод (также называемый как нечеткое или приближенное рассуждение) – это наиболее важный метод в нечеткой логике. Чтобы сделать заключение (вывод) из базовых правил, нам нужен механизм, который позволяет находить заключение из набора правил если-то. Такой механизм можно получить, используя композиционное правило нечеткого логического вывода (КПЛВ), другими словами, композиционное правило инференции, которое является существенным логическим обоснованием приближенных рассуждений. Инференция означает: сделать вывод из очевидного, сделать заключение или получить логическое следствие. Чтобы понять лежащую в основе инференции концепцию, полезно рассмотреть вычисление значения четкой функции y=f(x), (рис. 1.5), где f есть данная функция (определяет отношение между x и y), x есть независимая переменная (четкий аргумент), y – четкий результат. Если мы имеем x=a, то из y=f(x) делаем вывод, что значение y=b= f(a).

Предпосылка 1 (факт или наблюдение): x = a,

Предпосылка 2: y=f(x) − отношение R=X Y (знание)

Следствие: y=b=f(a)

З наменитое правило инференции modus ponens (модус поненс) четкой логики (композиционное правило инференции) ,(1.14) записываемое также как

= R (1.14a), может быть сформулировано следующим образом: если известно, что утверждение (высказывание) верно (истина), и также, что А верно (истина), то можно сделать вывод, что B есть истина. Например, если А отождествляется с «помидор красный» и B с «помидор зрелый», то, если «помидор красный» есть истина, то также является истиной, что «помидор зрелый». Эта концепция иллюстрируется ниже

Предпосылка 1 (факт или наблюдение): x есть A,

Предпосылка 2 (правило) если x есть A , то y есть B ,

Следствие (заключение): y есть B.

Однако в большинстве человеческих рассуждений модус поненс используется приближенным образом. Например, если мы имеем то же самое правило импликации «если помидор красный, то помидор зрелый», и мы видим, что «помидор более или менее красный», то мы делаем вывод, что «помидор более или менее зрелый». Эту последовательность действий можно записать как

Предпосылка 1 (факт или наблюдение): x есть A^’,

Предпосылка 2 (правило) если x есть A , то y есть B ,

Следствие (заключение): y есть B^’.

Здесь A^’ близко к A и B^’ близко к B. Когда A, B, A^’ и B^’ являются нечеткими множествами соответствующих универсумов, то описанная выше процедура инференции называется нечетким рассуждением или приближенным рассуждением; также ее называют обобщенным правилом modus ponens (ОМП) или правилом нечеткого вывода, т.к. в частном случае оно преобразуется в модус поненс. Используя композиционное правило инференции, сформулированное ранее, мы можем сформулировать процедуру нечеткой инференции как следующее определение.

Определение: Нечеткий логический вывод для дискретных универсумов.

Пусть A, A^’ и B представляют собой нечеткие множества на дискретных универсумах U, U и V соответственно. Предположим, что нечеткая импликация выражена как нечеткое отношение R на . Тогда нечеткое множество B^’ , логически выводимое из «x есть A^’ » и нечеткого правила «если x есть A , то y есть B» определяется как = = R. (1.15).Часто для непрерывных универсумов используют вместо обозначения оператора композиции ( внутреннего произведения) другое обозначение : = = R.

При этом в нечеткой логике и слегка отличаются в некотором смысле от и соответственно, например, после применения модификаторов. ОМП тесно связано с ранее рассмотренным прямым построением цепочки (см. п.1.3), т.е. рассуждениями от исходных посылок к целевой гипотезе в базовых правилах, которые содержат цепочки правил. Такая связь особенно полезна в нечетких контроллерах. ОМП имеет в своей основе композиционное правило инференции. При этом связь лингвистических переменных и , т.е. выражение (1.14а), называют лингвистической (словесной) моделью, представленной с помощью отношения R (рис. 1.5,а).

Применительно к базовым правилам правило модус поненс выглядит так:

Правило инференции модус поненс:

Классическая логика Нечеткая логика

Если х есть А, то у есть В Если х есть А, то у есть В

х есть А х есть А'

---------------------------------------------------------------

у есть В у есть В'

Пример. Уровень жидкости в баке

Классическая логика

Предпосылка 1 (факт): уровень есть НИЗКИЙ

Предпосылка 2: если уровень (x) есть НИЗКИЙ (A), то входной сигнал V₁ (y) вентиля есть ОТКРЫТЬ (B)

Следствие: входной сигнал V₁ вентиля есть ОТКРЫТЬ

Нечеткая логика

Предпосылка 1 (факт): уровень есть НЕ ОЧЕНЬ НИЗКИЙ ( )

Предпосылка 2: если уровень есть НИЗКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля есть ОТКРЫТЬ

Следствие: входной сигнал V₁ вентиля есть НЕМНОГО ОТКРЫТЬ ( ). Таким образом, процесс получения нечеткого логического вывода с использованием данных наблюдения (измерения) и знания R сводится к композиции и R, т.е. .

Пример 1.14 (ОМП). Рассмотрим нечеткое отношение R=низкий min открыть

из предыдущего примера, и вход контроллера (фактическое измерение уровня), представляющий собой нечеткое множество НЕ ОЧЕНЬ НИЗКИЙ уровень с дискретной функцией принадлежности = не очень низкий = [0,75 1 0,75 0,5 0,25] , тогда, чтобы получить нечеткий логический вывод, найдем композицию нечеткого множества и отношения R (внутреннее произведение): = v₁ = не очень низкий R (1.16)

Очевидно, что фактический вход «НЕ ОЧЕНЬ НИЗКИЙ уровень», представляет уровень несколько более высокий, чем «НИЗКИЙ». В результате после инференции получаем выход как нечеткое множество V₁ «НЕМНОГО ОТКРЫТЬ ВЕНТИЛЬ» чуть меньший, чем «ОТКРЫТЬ». В нечеткой лингвистической модели (в нечетком правиле для примера 1.13) вход – лингвистическая переменная уровень, выход – лингвистическая переменная входной сигнал вентиля. Между прочим, если мы попытаемся приравнять в (1.16) функции принадлежности предполагаемого входа низкий и фактического входа не очень низкий, то следует ожидать получить после композиции с R функцию принадлежности выхода как вектор v₁, равный вектору открыть. Можно показать, что композиция множества и отношения R (1.19)

Здесь a, b, , соответственно функции принадлежности множеств A, B, , ,

. (1.20)

Для примеров 13 и 14 с помощью (1.19) и (1.20) получаем

= max {[0,75 1 0,75 0,5 0,25] min [1 0,75 0,5 0,25 0]}=max{0,75 1; 1 0,75; 0,75 0,5; 0,5 0,25; 0,25 0}=0,75.

Следовательно, =0.75 b =[0,75 0; 0,75 0,5; 0,75 1]=[0 0,5 0.75],

что совпадает с (1.18).

23. Процедура ручной настройки (НПД+И)-контроллера

Процедура ручной настройки НПД+И контроллера включает в себя следующие пункты:

1. Выбрать KE, исходя из величины ступенчатого задающего воздействия и универсума для ошибки E, чтобы полностью использовать весь диапазон этого универсума.

2. Устранить влияние интегральной и дифференциальной составляющих, положив KIE= KCE=0. Выбрать KU так, чтобы качество переходного процесса удовлетворяло заданным требованиям с точки зрения колебательности. При этом не следует обращать внимание на величину установившейся ошибки.

3. Увеличить коэффициент усиления по пропорциональной составляющей путем повышения значения KU; затем с помощью изменения KCE выбрать коэффициент по дифференциальной составляющей так, чтобы уменьшить перерегулирование.

4. Выбрать коэффициент усиления по интегральной составляющей KIE так, чтобы устранить установившуюся ошибку.

5. Повторять всю процедуру до тех пор, пока KU не станет как можно большим.

Кажется весьма вероятным, что запасы устойчивости в результате использования этой процедуры будут близки к их значениям, полученным при линейной аппроксимации. При динамическом моделировании системы (симуляции), по крайней мере, можно провести эксперименты с разными поверхностями управления и получить приближенное представление о запасах устойчивости. Заметим, что, как и в любых нелинейных системах, реакция зависит от величины входного воздействия, следовательно, при ступенчатых воздействиях зависит от величины скачка.

Резюмируя, мы можем сформулировать процедуру настройки (синтеза) нечетких НПД+И контроллеров при ступенчатом задающем воздействии.

1.Включите в систему четкий ПИД-регулятор и настройте его, используя один из упомянутых в этом разделе методов (Циглера-НикоНиколса, оптимизации, ручной настройки и других методов).

2. Включите в систему НПД+И контроллер.

3. Трансформируйте коэффициенты K_p , T_d и 1/T_i, полученные в п. 1, в коэффициенты KE, KCE, KIE и KU, используя выражения (6-8). Если входные сигналы не выходят за пределы универсумов (нет насыщения), то реакция системы будет такая же, как в п. 1.

4. Измените функции принадлежности и базовые правила, чтобы нечеткий контроллер стал нелинейным.

5. Настройте параметры нечеткого нелинейного контроллера с помощью ручной настройки. Используя при этом KE для повышения быстродействия, KCE для уменьшения колебательности (перерегулирования) и KIE для устранения установившейся ошибки.

НПД+И контроллер имеет одну дополнительную степень свободы, т.к. он имеет на один коэффициент усиления больше, чем четкий ПИД-регулятор. Эта степень свободы используется, чтобы задействовать полный диапазон универсума одного из входных сигналов. Свободным параметром должен быть KE или KCE в зависимости от того, какой из этих коэффициентов после умножения на них соответственно e(t) и приводит к наибольшему входному сигналу. Качество системы зависит от вида поверхности управления. При линейной поверхности управления нечеткий контроллер может быть сделан полностью аналогичным по своему действию четкому ПИД-регулятору. В целом ряде случаев нелинейная поверхность управления может обеспечить более высокое качество управления, чем классическое ПИД управление. Однако это зависит от свойств объекта управления и от того, насколько продуманно выбран вид нелинейной поверхности управления. Т.к. в частном случае нечеткий ПИД-контроллер является эквивалентным четкому ПИД-регулятору, можно утверждать, что его свойства, по крайней мере, будут не хуже последнего. Удобно при настройке системы управления начать с классического ПИД-регулятора и постепенно преобразовать его в нечеткий контроллер.