19. Моделирование статических объектов упр-я как аппроксимация функций с помощью нейронных сетей (есть только для динамических объектов)((((((((

Рассмотрим задачу реализации нелинейных алгебраических зависимостей нейронными сетями. Приведенный выше персептрон может аппроксимировать произвольную гладкую функцию. В качестве примера запишем выходной сигнал сети с одним выходом y и одним входом u, состоящей из одного скрытого слоя с двумя нелинейными нейронами и выходного слоя из одного линейного нейрона: (28). Внутренние входы v₁ и v₂ скрытых нейронов определяются выражениями (29). Пусть функция активации f (v) скрытых нейронов является функцией tangh(v) (гиперболический тангенс). При этом график зависимости y=g(u) при найденных в результате обучения значениях весовых коэффициентов w⁰ , w^h и смещений b^h можно построить, как показано на рис. 8. Здесь = , = - , = =1.

Рис. 8

Изменяя веса и смещения в соответствии с обучающей выборкой, получаем гладкую кривую, аппроксимирующую вход нейронной сети.

Эффективность использования нейронных сетей устанавливается теоремой

о полноте. Смысл этой теоремы в том (Cybenko, 1989), что персептрон, по

меньшей мере с одним скрытым слоем, способен аппроксимировать любую

непрерывную функцию с произвольной степенью точности при условии

выбора достаточного числа нейронов скрытого слоя.

20. Анализ устойчивости тс модели объекта управления в пространстве состояний.

Рассмотрим ТС нечеткую модель (1) при u=0 (автономный объект):

Если x₁ есть A_1l …и x_n есть A_nl, То x[i+1]= A_lx[i], l= , (7), которую можно также представить в виде x[i+1]= A( )x[i] (8). Анализ устойчивости ТС нечетких систем выполняется главным образом на основе теории устойчивости Ляпунова, однако, с различного вида функциями Ляпунова. Одной из таких функций является так называемая общая (или глобальная) квадратичная функция Ляпунова, второй одна из так называемых кусочных квадратичных функций Ляпунова, и третьей одна из так называемых нечетких (или не квадратичных) функций Ляпунова. Остановимся на анализе устойчивости на основе общей квадратичной функции Ляпунова. Впервые результаты анализа на основе общей квадратичной функции Ляпунова были опубликованы Танако и Сугено, и затем были предложены многочисленные модифицированные и улучшенные методы ее применения. Если кандидатом на функцию Ляпунова определена функция (9), где матрица P является положительно определенной матрицей, то следующий результат может быть сравнительно просто получен.

Теорема 1: ТС нечеткая система, описываемая уравнением (7) или, что эквивалентно, уравнением (8), глобально (т.е. в целом) экспоненциально (следовательно, и асимптотически) устойчивая,

a) если существует положительно определенная матрица P такая, что удовлетворяется следующее линейное матричное неравенство (ЛМН): l= , (10) или, эквивалентно;

b) если существует положительно определенная матрица X такая, что удовлетворяется следующее линейное матричное неравенство (ЛМН): < 0, l= . (11)

Эквивалентность (10) и (11) легко устанавливается с помощью дополнения Шура при X=P^-1. Однако, форма (11) более удобна при синтезе контроллеров, что можно увидеть из материалов в следующем параграфе. Так же следует сказать, что, если существует решение X для (11), то оно является положительно определенным. Условия (10) или (11) представляют собой линейные матричные неравенства относительно переменных P или X соответственно. Существование решения для этих ЛМН легко устанавливается с помощью приложения LMI Toolbox системы Matlab. Чтобы оценить устойчивость, необходимо найти P или X соответственно, удовлетворяющие условиям Теоремы 1, или определить, что таких P или X не существует. Это как раз задача, решаемая с помощью ЛМН. Показано, тем не менее, что общая квадратичная функция Ляпунова имеет тенденцию быть консервативной (приводит к очень жестким условиям устойчивости), и даже хуже, может не существовать, для многих сложных нелинейных систем высокого порядка. Это одно из основных недостатков такого подхода.

21. Проектирование нелинейного нечеткого (НПД+И)-контроллера. Настройка ПИД-регуляторов. Линейные нечеткие контроллеры.

Если цель управления заключается в стабилизации управляемой величины на заданном уровне, то естественно рассматривать ошибку управления в качестве входного сигнала для нечеткого контроллера, и отсюда вытекает мысль о том, что и производная и интеграл от ошибки управления также могут быть использованы как входные сигналы для такого контроллера. Однако при настройке нечеткого ПИД-контроллера трудно судить о влиянии каждого из его параметров (коэффициентов усиления) на такие показатели качества, как перерегулирование, длительность переходного процесса, в силу того, что этот контроллер в большинстве случаев обладает ярко выраженными нелинейными свойствами, и, кроме того, имеет большое число настраиваемых параметров. В этом разделе предлагается процедура, позволяющая трансформировать технологию выбора параметров в области ПИД- регуляторов в область нечетких контроллеров. Основная идея заключается в том, чтобы, начав проектирование с настройки обычного (четкого) ПИД-регулятора, заменить его эквивалентным линейным нечетким контроллером, затем преобразовать линейный контроллер в нелинейный нечеткий контроллер, и, в конечном счете, настроить должным образом последний контроллер. Описанный здесь подход уместен, если ПИД-регулятор в принципе может быть использован в целях управления данным объектом или уже применяется. Систематическая процедура настройки, сопровождающая такой подход, упрощает выбор параметров нечеткого контроллера и может служить мостом на пути автонастройки последнего.

Настройка ПИД-регулятора

Первый шаг по пути описанной стратегии ввести в рассмотрение и настроить ПИД-регулятор.

Уравнение идеального аналогового четкого ПИД- регулятора выглядит следующим образом: , (1) где u(t) − управляющий сигнал на выходе регулятора, e(t) −ошибка управления (разность между заданным и действительным значением управляемой величины), поступающая на вход ПИД-регулятора, – пропорциональный коэффициент усиления, T_i − постоянная интегрирования, T_d – постоянная дифференцирования. Вводя обозначения

сe(t)= , ie(t)= ,запишем уравнение (1) в более простом виде (2). Под настройкой мы будем понимать действия по выбору параметров , и . ПИД-регулятор может быть построен, используя метод частотных характеристик или метод переходной характеристики, разработанные Циглером -Николсом. Значения параметров ПИД-регулятора, найденные путем использования любого из этих методов, надо рассматривать как приближенные значения, как стартовая позиция для ручной настройки.

Линейные нечеткие контроллеры

Второй шаг в процедуре проектирования нечетких контроллеров связан с заменой сумматоров в структуре ПИД-регулятора, точнее выполнение операций суммирования в уравнении (2) нечеткими сумматорами, которые, как показано в предыдущем разделе, осуществляют операции подобные суммированию. После такой замены замкнутая система управления должна иметь ту же самую реакцию на ступенчатое воздействие, что и с ПИД-регулятором. По этой реакции (переходной характеристике) можно оценить, насколько правильно осуществлена замена.