6 Тарау

6-2. Ойын сүйегі лақтырылды, келесі ықтималдықтарды анықтаңыз?

а) 3 санының түсуі;

б) 3 н/се одан да көп санының түсуі;

в) 2 рет лақтырылғанда 8 санының қосындысын беретін сандардың түсуі;

г) 2 рет лақтырғанда әр түсу санының 3-тен кем болуы;

д) 2 рет лақтырғанда, қосындысы 15 санын беретін сандардың түсуі.

Шешуі:

а)

б)

в) 2 рет лақтырғанда 36 мүмкін нәтижесі болады, олардың ішінде тек 5-і ғана

8 санының қосындысын береді (4-4; 5-3; 3-5; 6-2; 2-6), сондықтан ;

г) 3-тен кем санының түсу ықтималдығы -ге тең, сондықтан әр лақтырған

кезде 3санының 2 рет түсу ықтималдығы -ге тең.

д) бұл жағдай м.мкін емес, сондықтан Pr=0.

6-3. Орлянка ойынындағы келесідей ықтималдықтарды анықтаңдыр:

а) 2 орел жағының түсуі;

б) 2 орел жағының және решканың түсуі;

в) 3 рет лақтырғандағы 2 орел жағының түсуі;

г) 3 рет лақтырғандағы кем дегенде 2 орел жағының түсуі.

Шешімі:

1 рет лақтырған кезде тиынның түсуі - ге тең.

а) орел;

б) орел; орел; решка:

в) 3 рет лақтырғанда келісідей болуы мүмкін: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР,

РОР, РРО,РРР. Осы 8 реттіктің 3-де де нақты 2 орел түседі, сондықтанда

;

г) кем дегенде 2 орел деген 2 немесе 3 орел дегенді білдіреді. Сондықтанда

6-4. 45 жастағы адамның 80 жасқа дейін өмір сүруі ықтималдығы ¼-ке тең. 45 жастағы адамның 60 және 80 жас аралығында қайтыс болу ықтималдығы

2/5-ке тең. Онда 45 жасар адамның 60 жасқа дейін өмір сүру ықтималдығын табыңыз?

6-5. Ойын сүйегі лақтырылды. Егер 1,2,3 түссе,А ойыншысы сәйкесінше 1,2,3 ақша бірлігін ұтады, ал егер 4,5,6 түссе, онда В ойыншысы түскен соманы ұтады. Әр ойыншы үшін ұтыстың математикалық күтімін табыңдар.

Шешімі:

Әрбір нәтиженің ықтималдығы -ге тең.

А ойыншысы үшін ,ал В ойыншысы үшін

6-7. 1 долларлық лотерея билеті үшін келесідей ұтыстар беріледі:

1 ұтыс 25000-нан;

20 ұтыс әрқайсысы 1000-нан;

50 ұтыс әрқайсысы 100-ден;

100 ұтыс әрқайсысы 25-тен;

1500 ұтыс әрқайсысы 5 тегін билеттен.

Сатып алынған 1 билет үшін ұтыстың математикалық күтімін табыңыз, егер барлығы 100000 билет сатылса.

100000E=52500+7500E

92500E=52500

E=52500/92500=0,5676

6-8. Викторина қатысушыларына «дұрыс/дұрыс емес» деп жауап беру керек

5 бекіту ұсынылады және әрбір дұрыс жауап үшін 5 ұпай беріледі. Егер барлық 5 сұраққа дұрыс жауап берілсе, онда қатысушы қосымша 1000 ұпай алады. Бірде-бір сұрақтың жауабын білмейтін және әрбір оқиғада дұрыс жауап табуға тырысатын қатысушы үшін ұтыстың математикалық күтімін табыңдар.

1сұр - С₅^1*(1/2)⁵=5!/1!*(5-1)!*(1/2)⁵=5/32

2сұр - C₅^2* (1/2)⁵=5!/2!*(5-2)!*(1/2)⁵=10/32

3сұр - C₅³*(1/2)⁵=5!/3!*(5-3)!*(1/2)⁵=10/32

4сұр - C₅⁴*(1/2)⁵=5!/4!*(5-4)!*(1/2)⁵=5/32

5сұр - C₅⁵*(1/2)⁵=5!/5!*(5-5)!*(1/2)⁵=1/32

6-10. «Trustworthy Trust» компаниясы өздерінің несиесі үшін 16% табыс алуды көздейді. Алдыңғы тәжірибелерге сәйкес барлық несиенің 5%-ы өтелмейтіні белгілі. Компания қандай пайыздық қойылымды бекітуі қажет?

0,95*(1+i)=1,16

1+і=1,2211

і=0,2211=22,11%

6-11. Хилл мырза 5000тг қарызға алуды көздейді. Ол несиені 1 жылдан кейін 1реттік төлем ретінде өтейді. Несие агенттігі тәуекелсіз несиелерге 13%-дық қойылымды бекітеді. Алайда Хилл мырзаның несиені өтемеу мүмкіндігі 8%-ды құрайды. Компания Хилл мырзадан несиені өтеу үшін қандай соманы талап етуі қажет? L=5000 i=13% ; 8% ; Pr=0,08

5000*(1+0,13)=5650

0,92*5000(1+i)=4600(1+i)

4600(1+i)=5650

1+i=5650/4600

i=22,83%, 5000*(1+0,2283)=6141,3

6-12. Миссис Келли біршама ақша сомасын алғысы келеді. Ол кредитті 3000 көлемдегі 1 реттік төлем түрінде 2 жылдан кейін төлегісі келеді. Оның несиені қайтара алмау ықтималдығы 5% деп болжамданады. Миссис Келлидің несиелік агенттігі қандай көлемді алады, егер ол 14% деңгейде табыс алғысы келсе. Егер Миссис Келли толығымен несиені өтесе, онда табыстың нақты пайыздық қойылым қандай болады?

(0,95)(3000)/(1,14)²=2192,98

(1+i)²=3000/2192,98

i=(3000/2192,98)^1/2-1=16,96%

6-13. «Frendly Finance» компаниясы инвестициядан 15% деңгейінде табыс алуды қалайды. Бірақ олар 1 жылдан кейін 1 реттік төлем ретінде өтелетін несиеге 22%-дық қойылымды бекітеді. Болжамданған дефолт ықтималдығы несиеге тең. i=0,15 j=0,22

1+0,15=x(1+0,22)

X=1,15/1,22=0,9426

Pr=1-x=0,0574=5,74%

6-15. Егер белгілі бір тұлға 10жыл бойы әрбір жылдың соңында 2000тг-ден төлеуге уәде берсе, сіз қазіргі кезде ол адамға қанша көлемде қарыз берер едіңіз? Егер кез келген жылы дефолттың ықтималдығы 3%-ды құрайды ж/е сіз өз ақшаңызға 11%-да табыс алуды қалайсыз деп болжамдаңыз. Сонымен қатар дефолт жағдайында төлемдер тоқтатылады.

n=10 P=2000 Pr=3% i=11%

L=2000*[(1+0,11)^-1*0,97+(1+0,11)^-2*0,97+(1+0,11)^-3*0,97+…+(1+0,11)^-10*0,97] =2000*

6-17. Сақтандыру компаниясы 1 жыл өмір сүру ықтималдығы 0,65-ке, 2 жыл 0,45-ке, ал 3 жыл өмір сүруі одан да аз адамға аннуитет сатады. Егер әрбір жылдың аяғында 3000 төленіп отырса және компания 14%-ды табыс алуды қаласа аннуитет бағасы қаншаға тең?

i=14% P=3000 Pr₁=0,65 Pr₂=0,45

3000*0,65(1+0,14)^-1+3000*0,45(1+0,14)^-2=1710,5263+1038,7811=2749,3074

6-18. Егер сақтандыру компаниясы t жыл өмір сүру ықтималдығы -ке тең деп бағаланатын адамға әр жыл сайын 3000 төлем көлемінде мерзімсіз аннуитет сатады және компания 14%-ды табыс алуды қаласа аннуитет бағасы қаншаға тең?

i=14% P=3000 Pr =

6-19. Номиналды құны 100 және 20 жылдан кейін номиналды құны бойынша өтелетін облигация сатуға ұсынылады. Купондық қойылым 12%-ды құрайды және купондық төлемдер жарты жылда бір рет жүзеге асырылады. Егер әр 6 айдағы дефолт ықтималдығы 1%-ға тең болса, әр жарты жыл сайын есептелетін жылдық 8% табыстылықты қамтамасыз ететін сатылу бағасын анықтаңыз? Дефолт жағдайында келесі төлемдер жүзеге асырылмайды деп болжамданады:

6-20. «Happy Finance» компаниясымен 1 жылға берілетін несие бойынша дефолт ықтималдығы 10% құрайды. «Super Finance» компаниясымен 1 жылға берілетін несие бойынша дефолт ықтималдығы 7% құрайды. Егер «Super Finance» компаниясы кредит бойынша қойылымды 16%-ға қойса, онда «Happy Finance» компаниясы тура осындай табыс табу үшін қандай қойылымды қоюы қажет?

(100-10%)(1+i)=(100-7%)(1+j)

0,9(1+i)=0,93(1+0,16)=1,0788

1+i=1,0788/0,9=1,199

i=1,199-1=0,199=19,9%