77. Диференциальное уравнение Лагранжа 2-го рода:

(1)

Уравнения (1) и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа . Число этих уравнений, как видим, равно числу степеней свободы системы. Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений (1) входят обобщенные активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей. Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Q1, Q2, . . ., Qs и начальные условия, найти закон движения системы в виде (1), т. е. определить обобщенные координаты qu q2, . . ., qs как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей q{, то при дифференцировании первых членов уравнений (1) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q1,q2…. Qs

- Случай потенциальных сил. Если действующие на систему силы потенциальные, то, используя можно представить в виде

Последнее равенство справедливо потому, что потенциальная энергия П зависит только от координат q1 q2… qs а от обобщен- обобщенных скоростей не зависит и dП/dq1=0. Аналогично преобразуются все остальные уравнения системы (1). Введем функцию L=T—П.(2)

Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид

(3)

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. При соответствующем обобщении понятий, функции, аналогичные функции Лагранжа, описывают состояние других физических систем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнитного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (3) играют важную роль в ряде областей физики.

Из другого источника:

36. Формулы Эйлера: ,

v _x=_yz – _zy; v_y=_zx – _xz; v_z=_xy – _yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то v_x= – y; v_y=x.

75. Принцип Лагранжа-Даламбера (Общее уравнение динамики):

Необходимыми и достаточными условиями действительного движения мех. системы на к-рую действуют голономные двусторонние стационарные и идеальные связи есть равенство нулю суммы возможных работ всех активных сил и сил инерции на любых возможных перемещениях системы.

76. Обобщенные координаты, скорости, силы.

Н азываются независимые параметры, которые однозначно определяют положение мех. системы (эти параметры – любой размерности).

Обобщенная сила – это коэффициент при вариации обобщенной координаты в выражении возможной работы.

О бобщенная сила инерции.

77. Уравнение Лагранжа второго рода.

7 4. Принцип возможных перемещений.

Необходимыми и достаточными условиями для равновесия мех. системы, к которой приложены двусторонние, стационарные и идеальные связи, есть равенство нулю суммы возможных работ всех активных сил на любых возможных перемещениях из положения равновесия.

5 7.Диф. уравнение движения мех системы и св-во внутренних сил.

эти уравнения называются уравнениями движения механ. сист. в вектр. ф – ме.

Теорема: Произведение массы механической системы на ускор. ее центра масс = гл. вектору всех действ на сист. внешних сил. Данная теорема позволяет глубже раскрыть значение матер. точки и изучения динамики ее движения.

40. Задачи динамики:

Первая задача динамики состоит в том, что зная закон движения и массу мат.точки необходимо найти силы действующие на свободную точку или реакции связей, если точка не свободна; в последнем случае активно действующие силы должны быть заданы.

Вторая задача динамики: Зная действующие на мат.точку силы, её массу, начальное положение и скорость определить закон движения мат.точки.

2)Если на мат точку M действует центральная сила P , то момент количества движения этой точки Lo относительно центра силы O постоянен и точка движется в плоскости I, перпендекулярной Lo. В этом случае Lo=const

Для несвободной точки – к силе прибавляется вектор N – реакция опоры.