9. Равномерное и равнопеременное вращение:

При вращательном движении все точки тела описывают окружности вокруг общей неподвижной оси. Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения. При этом каждая точка движется по окружности, радиус которой равен расстоянию точки до оси вращения. Точки на оси вращения не перемещаются. Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной оси можно использовать только угловые параметры. Для определения положение тела в любой момент времени используется уравнение Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае имеет вид:

угол поворота до начала отсчета. Равнопеременное вращение (угловое ускорение постоянно): Уравнение (закон) равнопеременного вращения

начальная угловая скорость. Угловое ускорение при ускоренном движении — величина положительная; угловая скорость будет все время возрастать. Угловое ускорение при замедленном движении — величина отрицательная; угловая скорость убывает.

10. Скорости и ускорения точек тела при вращательном движении:

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения. Угол, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости против движения часовой стрелки, измеряемый в радианах, называется углом поворота тела - . Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси выражает зависимость угла поворота от времени

Основными характеристиками вращательного движения тела являются угловая скорость - и угловое ускорение - .

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , численная величина которого равна и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки .

Угловое ускорение тела

[рад/ ]

Величины n являются угловыми характеристиками, применимы-ми для всего тела в целом. Движение точки характеризуется линейными величинами: скоростью и ускорением .

Угловое ускорение

Скорости и ускорения точек тела, при вращательном движении. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда скорость точки будет равна

или

Касательное и нормальное ускорения

или

Модуль полного ускорения

11. Выражения скоростей и ускорений точек тела при вращательном движении в виде векторных произведений:

Вектором углового ускорения будет производная по времени от вектора угловой скорости:

Так как ось вращения неподвижна, вектор угловой скорости не меняет своего направления, изменяясь только по модулю, то при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен по оси вращения. По направлению он совпадает с вектором угловой скорости, когда вращение ускоренное, при замедленном вращении векторы направлены в разные стороны. Нетрудно убедиться, что

Действительно, , а вектор , согласно правилу построения вектора векторного произведения, направлен так же, как вектор скорости V. Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем

Учитывая, что , получаем

Первое слагаемое в является касательным ускорением, а второе - нормальным ускорением:

(19)

По определению скорости точки V = dr / dt. С другой стороны, по формуле Эйлера . В последней формуле r = const, так как радиус-вектор соединяет между собой две точки твердого тела. Поэтому формулу Эйлера можно использовать для дифференцирования по времени любого вектора, например, b, постоянного по величине (b = const):

Раскрывая векторное выражение скорости в координатной форме, получим

(21)

где ω_x, ω_y, ω_z - проекции угловой скорости на неподвижные оси координат, в нашем