46. Теорема об изменении количества движения материальной точки:

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение , то уравнение , выражающее основной закон динамики можно представить в виде (1). Уравнение (1) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил. Проинтегри­руем это уравнение.

Пусть точка массы m, движущаяся под действием силы (рис а), имеет в момент t = 0 скорость v₀, а в момент

t ₁ — скорость v₀.

Умножим тогда обе части равенства (1) на dt и возь­мем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегри­рование идет по времени, пределами интегралов будут 0 и t₁ а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствую­щие значения скорости v₀ и v₁. Так как интеграл от d(mv) равен mv, то в результате получим: . Стоящий справа интеграл, , пред­ставляет собой импульс действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь: (2). Уравнение (1) выражает теорему об изменении коли­чества движения точки в конечном виде: изменение коли­чества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени (рис. б). При решении задач вместо векторного уравнения (2) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равен­ства (2) на оси координат, получим: . В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох, теорема выражается первым из этих уравнений

47. Моменты количества движения точки относительно произвольного центра и оси:

Моментом количества движения мат. точки относительно центра называется вектор, модуль которого = произведению модуля количества движения на кратчайшее расстояние от центра до линии действия вектора количества движения, I-й плоскости в которой лежат упоминающиеся линии и направленный так, что бы глядя от его конца видеть движение, совершающееся против часовой стрелки.

Моментом количества движения мат. точки относительно оси называется скалярная величина = произведению проекции количества движения мат. точки на плоскость перпендикулярную данной оси и на кратчайшее расстояние от точки пересечения данной оси с этой плоскостью до прямой, на которой лежит прямая вектора количества движения.

48. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки:

Количество движения является векторной величиной. Следовательно, как и всякий вектор, может иметь момент относительно какого-либо центра или оси. Обозначается как и называется моментом количества движения точки или кинетическим моментом. По модулю он равен

где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на линию действия вектора .

Рассмотрим теорему моментов относительно оси Oz. Пусть материальная точка массы m движется по траектории под действием силы , со скоростью . К точке приложены два вектора и , каждый из которых создает свой момент.

Для вектора запишем:

Аналогично для вектора запишем:

Дифференцируя это соотношение по времени, получим:

Первая скобка справа равна нулю в силу второго уравнения. Вторая, в силу первого уравнения в точности совпадает с ур-ем. Окончательно Производная по вр-ни от момента кол-ва дв-ия точки относ-но какой-либо оси равна моменту действующей силы относ-но той же оси. Данная теорема относ-но произвольного центра запишется как