Билет 26

1. Если функции и непревны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка такая, что

Доказательство.

Рассмотрим функцию

где число   выберем таким, чтобы выполнялось равенство  , которое равносильно следующему:

Заметим, что  , так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка   такая что   вопреки условиям теоремы.

Итак,   и из равенства (1) следует, что

Так как функция   при любом   непреывна на отрезке   и дифференцируема на интервале  , а при значение   определяемом формулой (2), принимает равные значения в точках   и  , то по теореме Ролля существует точка   такая, что  , откуда  . Из этого равенства следует утверждение теоремы.

2. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

y(n)+a1(x)y(n−1)+a2(x)y(n−2)+…+an−1(x)y+an(x)y=f(x)

Здесь функции a1(x)a2(x)an(x)f(x) заданы и непрерывны в некотором промежутке ]ab[ .

Уравнение называетсялинейным неоднородным, или уравненией с правой частью. Если же f(x)0 , то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.

Билет 27.

1.Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

2. Комплексным числом называется число , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается ; называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.

Билет 28.

1.Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка 

Пусть функция f (x) непрерывна в точке   и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка   называетсяточкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если   – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то 

2.

1) комплексные числа коммутативны по сложению и по умножению.

2) комплексные числа ассоциативны по сложению и по умножению.

3) комплексные числа дистрибутивны.

Билет 29.

1.Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается  .

Выражение   называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называетсянеопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

2.

-Сравнение  означает, что   и   (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

-Сложение

-Вычитание

-Умножение

-Деление