Билет 9.

1.Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB. Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками. Таким образом, два направленных отрезка AB и CD, имеющие одинаковые длины и направления, изображают один и тот же вектор, и именно в этом смысле мы будем писать равенства между векторами и направленными отрезками, например.Длиной (или модулем) вектора AB называется расстояние между точками A и B. Будем считать, что единица измерения длин выбрана и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются. Модуль вектора AB обозначается символом |AB|. Вектор нулевой длины называется нулевым.

Покажем как происходит сложение двух векторов.

Сложение векторов   и   происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор  , равный  , далее от точки B откладываеься вектор  , равный  , и вектор  представляет собой сумму векторов   и  . Такой способ сложения двух векторов назваетсяправилом треугольника.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в   раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

2. Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)   и  , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная   обозначается через   или  , а   через   или  . Таким образом,

, 

и, аналогично,

,  .

Производные   и   называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка:  ,  ,   и т. д.

Билет 10.

1.Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Модуль векторного произведения  [ab]  равняется площади s параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b.

Если e — единичный вектор, ортогональный векторам a и b и выбранный так, что тройка a,b,e — правая, а s — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

Если c — какой-нибудь вектор,   — любая плоскость, содержащая этот вектор, e — единичный вектор, лежащий в плоскости   и ортогональный к c, g — единичный вектор, ортогональный к плоскости   и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости   вектора a справедлива формула

При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

2. Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

Билет 11.

1. Ты знаешь. ;D

2.Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл   от функции одной переменной   выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R 

Билет 12.

1.Поверхности второго порядка

 поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

 a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0 (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую П. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс П. в. п. Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно

— эллипсоиды,

— мнимые эллипсоиды;

2. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2,

Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D.

Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то .

Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

Важное геометрическое свойство. равен площади области D (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости.

Билет 13.

1.  — однополостные гиперболоиды,

   — двуполостные гиперболоиды;

2. Чувак, готовься. ;D

Билет 21.

1.Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

 

2. Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты   берутся из некоторого кольца  .