Билет 14

1 Цилиндрические поверхности Конические поверхности Поверхности вращения Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид Центральные поверхности

2 Конус— тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, то это не конус, а пирамида. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называетсявысотой конуса.Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Если основание конуса имеет центр симметрии и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Билет 15

1. Примеры последовательностей:

Элементы арифметической прогрессии

образуют последовательность с общим членом   :

Элементы геометрической прогрессии

Образуют последовательность с общим членом   :

2 Многие задачи в математике приводят к формулам, содержащим бесконечные суммы Такие суммы называются бесконечными рядами, а их слагаемые – членами ряда. .Сходящиеся ряды. Поскольку сложение бесконечного числа членов ряда физически невозможно, необходимо определить, что именно следует понимать под суммой бесконечного ряда. Можно представить себе, что указанные операции сложения и вычитания выполняются последовательно, одна за другой, например, на компьютере. Если возникающие при этом суммы (частичные суммы) все ближе и ближе подходят к некоторому числу, то это число разумно назвать суммой бесконечного ряда. Таким образом, сумму бесконечного ряда можно определить как предел последовательности частичных сумм. При этом такой ряд называется сходящимся.

Билет 16

1. Можно сказать и иначе: последовательность     является бесконечно малой, если для любого положительного числа  ε  существует лишь конечное число ее членов, превосходящих  ε

2 У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности. Знакочередование обеспечивает множитель  : если   чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус». На математическом жаргоне эта штуковина называется «мигалкой». Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель  , но и его родные братья:  ,  ,  , ….

Билет 17

1Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т. е. формулы, явно выражающей зависимость  n-ого члена последовательности от  n. Например, формула  an = 2n  задает последовательность четных чисел  2,  4,  6,  8,  … . Другим важным способом задания последовательности является так называемый рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-ый член последовательности с одним или несколькими предыдущими. Слово рекуррентный происходит от латинского слова рекурсия, что означает возврат. Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад, к уже вычисленным, предыдущим членам. Последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности. Например, описание «пусть  an – это n-ое простое число» задает последовательность  2,  3,  5,  7,  11,  13, …, члены которой берутся из таблицы простых чисел или вычисляются каким-либо другим способом

2 Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на –1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u₁-u₂+u₃-u₄+…+     +(-1)^n-1.u_n+…, где u_n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Теорема 9. (Признак Лейбница)Если для знакочередующегося числового ряда

    (19)Выполняются два условия:Члены ряда убывают по модулю u₁>u₂>…>u_n>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.