§19. Свойства и модели атомных ядер

1. Размеры ядер определяют тремя способами: рассеянием на ядрах быстрых электронов, исследованием спектров мезоатомов и дифракцией на ядрах нейтронов.

а. Рассеивание на ядрах быстрых электронов позволяет определить электрический радиус ядра R_эл. Электроны, энергия которых должна быть не менее 100 МэВ, испытывают с ядром электромагнитное, но не ядерное взаимодействие. Поэтому по их рассеиванию можно судить фактически лишь о распределении протонов в ядре.

б. Спектры мезоатомов, то есть атомов, один из электронов в которых заменён мюоном. Мюон µ - элементарная частица, её заряд равен заряду электрона, а масса в 207 раз больше, m_μ = 207m_e. Как и электрон, мюон не участвует в ядерных взаимодействиях. Спектры мезоатомов дают больше информации о структуре ядра, чем спектры обычных атомов, поскольку мюон из-за своей большей массы движется в 207 раз ближе к ядру, чем электрон. Относительно заметное время мюон проводит даже внутри ядра.

в. Дифракция на ядрах нейтронов с энергией порядка 20 МэВ имеет то достоинство, что нейтроны испытывают ядерное взаимодействие с ядром. Радиус этого взаимодействия очень мал. Поэтому нейтроны заметно дифрагируют на ядре, то есть отклоняются от прямолинейного движения, лишь пролетая очень близко к ядру и внутри самого ядра. По ширине дифракционного максимума, который формируют нейтроны, прошедшие как вне, так и внутри ядра, можно оценить и размеры, и степень прозрачности ядра для нейтронов.

Дифракция нейтронов на ядрах позволяет определить радиус области, в которой действуют ядерные силы притяжения. Фактически это область, в которой сосредоточены нуклоны ядра. Из опытов следует, что радиус ядра пропорционален кубическому корню из числа A содержащихся в нём нуклонов, м . (19.1)

Вычислим концентрацию нуклонов в ядре. Для этого массовое число A надо разделить на объём ядра. .

Умножив на массу одного нуклона m_p = 1,67·10^27 кг, получаем среднюю плотность ρ ядерного вещества. .

Плотность ядерного вещества не зависит от числа нуклонов в ядре. Она одинакова во всех ядрах и представляет собой гигантскую величину. Один кубический миллиметр такого вещества имел бы массу 200000 тонн. То, что плотность ρ ядерного вещества постоянна, свидетельствует о том, что нуклоны в ядре в смысле упаковки похожи на молекулы жидкости. Средний объём, приходящийся на один нуклон в ядре, не зависит от размера ядра, как средний объём, приходящийся на молекулу в жидкости, не зависит от размера капли.

2. Ядерные силы. Опыты Резерфорда 1909г. по рассеиванию -частиц показали, что закон Кулона выполняется в микромире вплоть до размеров ядер. Но это значит, что между протонами в ядре должны действовать огромные силы отталкивания. Найдём величину этих сил для двух протонов в ядре гелия. Число нуклонов в ядре гелия . Из формулы (19.1) радиус ядра гелия R = 1,25·10^15·4^1/3 = 2·10^15 м. Примем, что протоны находятся на концах диаметра ядра 2R = 4·10^15 м. Тогда сила отталкивания между ними составляет:

Почему же ядро, несмотря на столь большое взаимное отталкивание протонов, не разлетается на составлные части?

Наблюдаемая на опыте устойчивость ядер означает, что кроме электрических сил отталкивания между ядерными частицами действуют ещё силы притяжения. Это не могут быть силы гравитационного притяжения. Их потенциальная энергия – Gm_p/2R = – 6,7·10^11·(1.7·10^27)²/4·10^15 = – 5·10^50 Дж, тогда как потенциальная энергия отталкивания протонов составляет (1/4πε₀)/(e²/2R) ≈ 6·10^14 Дж! Это на 36 порядков больше.

Следовательно, в случае атомных ядер мы сталкиваемся с новым, особым видом взаимодействия. Это взаимодействие называется сильным, а отвечающие ему силы – ядерными. Полная теория ядерных сил не построена до сих пор, хотя достигла больших успехов в объяснении и прогнозировании многих опытных фактов. Основные современные представления о ядерных силах сводятся к следующему:

а. Существование ядерного поля. Подобно тому, как электрические силы обусловлены существованием материального электромагнитного поля, ядерные силы обусловленны существованием материального ядерного поля. Источниками ЭМ-поля являются любые электрически заряженные частицы вещества – электроны, протоны и др. Источниками ядерного поля являются нуклоны – протоны и нейтроны. Нуклоны обладают специфическим ядерным зарядом.

б. Зарядовая независимость ядерных сил. Ядерный заряд нуклонов одинаков по величине и знаку. Он не зависит от того, обладает нуклон электрическим зарядом (протон) или нет (нейтрон). С помощью ядерных сил нейтрон с нейтроном, нейтрон с протоном и два протона взаимодействуют одинаково.

в. Короткодействие ядерных сил. По сравнению с кулоновскими и гравитационными силами, которые убывают пропорционально квадрату расстояния между точечными источниками (зарядами, массами), ядерные силы убывают много быстрее. Они очень велики на расстояниях порядка поперечника ядра, но уже на расстоянии трёх поперечников практически незаметны. При сближении нуклонов притяжение сменяеться отталкиванием.

г. Ядерные силы не являются центральными. Электрическое поле вокруг точечного заряда и гравитационное поле вокруг точечных масс центрально симметричны. Ядерное поле отдельного нуклона не обладает центральной симметрией. Это связано с наличием у нуклонов спинового механического и магнитного моментов. Взаимодействие между нуклонами зависит от ориентации их спинов. Например, нейтрон и протон удерживаются вместе в ядре тяжёлого водорода – дейтрона только в случае, когда их мех.спины параллельны друг другу.

д. Свойство насыщения ядерных сил. Как известно, энергия взаимодействия двух электрических зарядов не зависит от наличия третьего (принцип суперпозиции). При внесении каждого последующего заряда энергия системы увеличивается пропорционально величине вносимого заряда. Каждый электрический заряд может взаимодействовать с неограниченным числом других зарядов. Насыщения электрических сил нет.

Насыщение ядерных сил состоит в том, что каждый нуклон в ядре может взаимодействовать с ограниченным числом нуклонов. Это чем-то похоже на химическую валентность элементов. Например, атом углерода C может объединяться с четырьмя атомами водорода H, образуя молекулу метана CH₄, с двумя атомами кислорода (CO₂) и т.д. Среди нуклонов нет такого разнообразия, как среди химических элементов. Поэтому насыщение ядерных сил проявляется в том, что удельная энергия связи (энергия, приходящаяся на один нуклон) в ядре при увеличении числа нуклонов в ядре не растёт, а остаётся примерно постоянной.

3. Масса ядра отличается от массы атома химического элементов лишь на величину массы электронной оболочки. В таблице Менделеева массы атомов выражаются в атомных единицах массы а.е.м. Одна а.е.м. равна 112 массы атома углерода, 1 а.е.м. = 1,66·10^27 кг. Поскольку в ядре основного изотопа углерода (99% на земле) 12 нуклонов, то понятно, что а.е.м. близка к массе одного нуклона.

Масса одного электрона m_e = 5,5·10^4 а.е.м. Отношение массы электронной оболочки Zm_e к массе атома составляет у водорода m_e/m( ) = 5,5·10^41,008 = 0,0005, то есть 0,05%. У других атомов это отношение ещё меньше, поскольку число нуклонов в ядре растёт быстрее числа электронов в атоме. В атоме урана Zm_e/m( ) = 0,0002 (0,02%). Поэтому в тех случаях, когда вычисления требуют точности не более четырёх знаков, в качестве массы ядра можно брать массу атома химического элемента из таблицы Менделеева.

По мере развития ядерной физики открывались и синтезировались посредством ядерных реакций ранее неизвестные изотопы, в том числе и не существовавшие в природе.

Химические методы измерения атомных масс искусственных изотопов оказались мало эффективными. В 1919 г. Френсис Астон конструирует массовый спектограф – прибор, способный разделять ионы по величинам их масс с высокой точностью.

Л юбой масс спектограф включает в себя три основные части: ионный источник, анализатор и приёмное устройство. В ионном источнике образуются ионы и формируется слабо расходящийся пучок. В анализаторе пучок разделяется на несколько пучков, различающихся по массам ионов и фокусирующихся на поверхности приемного устройства – фотопластинки. На рис.134 показана схема одного из таких масс-спектрографов. Струя пара исследуемого элемента входит в отверстие 1 источника ионов и ионизируется простреливающим ее электронным пучком. Образующиеся ионы ускоряются и коллимируются диафрагмами 2.

Анализатором служит секторное магнитное поле В, направленное перпендикулярно плоскости рисунка. В этом магнитном поле ионы, вылетающие из источника под несколько разными углами, отклоняются и фокусируются. Радиус окружности, по которой движется ион в секторе, тем больше, чем меньше его удельный заряд, . (19.2)

(См. Электричество, §14). Здесь v- скорость движения иона, e/m – его удельный заряд.

В результате ионы одного и того же изотопа попадают в одно и то же место фотопластинки Ф_п, образуя на ней узкую линию, перпендикулярную плоскости рисунка. Масс-спектрографы позволяют измерить массы изотопов с относительной ошибкой 10^510^6.

Если заменить фотопластинку цилиндром Фарадея и измерять ионный ток, то можно определить интенсивность ионных пучков и находить относительное содержание изотопов в ионной смеси. Такой прибор называется масс-спектрометром.

4. Дефект массы и энергия связи ядра. Масса ядра m_я всегда меньше масс входящих в него нуклонов Zm_p + (A  Z)m_n.Величина   m = Zm_p + (A  Z)m_n –  m_я (19.3)

н азывается дефектом массы. Здесь m_p, m_n, m_я – массы покоя протона, нейтрона и ядра.

Дело в том, что при объединении свободных нуклонов выделяется энергия в виде квантов ЭМ-излучения, уносящих массу Δm. Энергия связи E_св нуклонов в ядре вычисляется по формуле E_св = mc², (19.4)

где c- скорость света в вакууме. Чтобы разрушить ядро, то есть разделить его на нуклоны, нужно сообщить энергию E, не меньшую энергии связи, E ≥ E_св .

Показательна для оценки устойчивости ядер удельная энергия связи E_свA, то есть энергия, приходящаяся на 1 нуклон. На рис.135 показана опытная зависимость её модуля от массового числа A стабильных ядер в МэВ/нуклон. Чёрные точки относятся к чётно-чётным ядрам, у которых число протонов Z и число нейтронов A  Z – чётные числа. Прямые крестики - к ядрам с нечётным A. Косые крестики относятся к нечётно-нечётным ядрам.

На вставке показана удельная энергия связи для лёгких ядер, начиная с дейтерия (A = 2) и заканчивая неоном (A = 20).

В первом приближении удельная энергия связи изменяется в пределах от 7,4 Мэвнуклон у дейтерия до 8,8 Мэвнуклон у железа, то есть в пределах примерно 1,4 Мэвнуклон. Но характер изменения показателен. От дейтерия до железа велечина E_свA растёт, достигая максимума при A = 56, то есть в области ядер железа. После железа с ростом A удельная энергия связи падает до 7,5 Мэвнуклон в конце таблицы Менделеева.

Максимум кривой соответствует наиболее стабильным ядрам. К ним можно отнести ядра с E_свA > 8,6 Мэвнуклон начиная с чётно-чётного кальция и заканчивая чётно-чётным свинцом с E_свA = 7,9 Мэвнуклон. Легчайшим ядрам с A < 20 энергетически выгодно сливаться друг с другом в более тяжёлые с выделением термоядерной энергии. Для наиболее тяжёлых ядер с A > 207, наоборот, выгоден процесс деления на осколки, идущий с выделением энергии, которая называется атомной.

Интересно, что ядра некоторых элементов на рис.135 чуть выше хода кривой. Это ядра, в которых число протонов Z или число нейтронов N = A  Z равны так называемым магическим числам: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Эти ядра обладают повышенной по сравнению с соседями прочностью. Особенно большой прочностью отличаются дважды магические ядра Из них ядро настолько прочно, что даже при распаде тяжёлых ядер вылетает целым (-частица).

5. Спины ядер. Как уже говорилось в §18, протоны и нейтроны имеют спиновые механические моменты, такие же, как у электронов. В проекции на физическую ось спиновые механические моменты протона, нейтрона и электрона могут принимать значения L_sz =  ћ2.

Все методы опытного определения спиновых моментов L_s протонов, нейтронов и ядер основаны на связи механических спиновых моментов L_s с магнитными спиновыми моментами M_s. Зная соотношение между L_s и M_s для данных частиц, по величине и особенностям магнитного момента M_s можно установить механический L_s.

Самые ранние экспериментальные методы определения магнитных спиновых моментов M_s были основаны на изучении сверхтонкой структуры оптических спектров водорода (спин протона), дейтерия (спин ядра протон + нейтрон → спин нейтрона) и других атомов. Позднее стали изучать поведение ядер в магнитном поле методом радиоспектроскопии. Спины ядер короткоживущих изотопов определяют по ядерным реакциям на основе законов сохранения, спины возбуждённых ядер – по испускаемому ими -излучению.

Опыты показывают, что спиновые моменты ядра (механический и магнитный, соответственно) равны геометрическим суммам моментов составляющих ядро нуклонов. При этом надо иметь в виду, что полный момент каждого нуклона является суммой спинового и орбитального (то есть связанного с движением нуклона по некой “орбите” в ядре) моментов. Орбитальный механический момент нуклона в ядре в отличие от спинового может принимать только целые значения. Если L_sz =  ћ2, то L_lz =± nћ, где n - целое число. Перечислим основные опытные факты по ядерным спинам.

а. Спиновые механические моменты ядер с чётными A всегда целые, с нечётными A – полуцелые. Например, спин дейтрона L_sz =  (ћ2+ћ2) =  ћ. Спины нейтрона и протона в ядре дейтерия параллельны.

б. Спиновые механические моменты всех чётно-чётных ядер в основных состояниях равны нулю. Поскольку в протон – нейтронной паре дейтерия спины параллельны, то остаётся сделать вывод, что антипараллельные спины могут быть лишь у одноимённых пар, то есть у протон-протонных и нейтрон-нейтронных.

в. Спиновые механические моменты остальных стабильных ядер не превышают 9ћ2, то есть очень малы по сравнению с суммой абсолютных величин спиновых и орбитальных моментов всех входящих в ядро частиц. Это говорит о том, что большинство нуклонов прочно связаны в замкнутых оболочках, имеющих нулевой суммарный момент и не участвующих в создании спина ядра.

6. Магнитные моменты ядер. Каждое ядро с ненулевым спином обладает магнитным моментом M, характеризующим взаимодействие ядра с однородным внешним магнитным полем B. Направление магнитного момента M микрочастицы совпадает с направлением спинового механического момента L_s с точностью до знака. M_s = gL_s (19.5)

Здесь g – гиромагнитное отношение. У протона оно положительно (векторы M_s и L_s совпадают, у нейтрона – отрицательно (векторы M_s и L_s противоположны). Существует много методов определения магнитных моментов ядер и нуклонов. Рассмотрим три из них.

а. Изучение сверхтонкой структуры оптических спектров. Этот метод упоминался уже в предыдущем пункте. Добавим лишь, что таким путём удалось установить, что ядерные магнитные моменты на три порядка меньше спинового магнитного момента электрона и имеют порядок ядерного магнетона M_я = eћ2m_p = 5,05·10^–27 ДжТл. Поэтому сверхтонкое расщепление спектральных линий на три порядка меньше их тонкой структуры, обусловленного взаимодействием спинового момента электрона с орбитальным.

б . Метод ядерного магнитного резонанса состоит в том, что спин ядра, находящегося в сильном постоянном магнитном поле, может “опрокидываться” под действием слабого высокочастотного поля некоторой резонансной частоты. Схема установки показана на рис.136.

Н а ядра исследуемого образца, находящегося в ампуле 4, действуют три магнитных поля. Во-первых, сильное постоянное магнитное поле B ≈ 1 Тл, создаваемое магнитами 1. Назначение магнитного поля B – разрыв связи ядерного магнитного момента с электронной оболочкой, создание сверхтонкого Зеемановского расщепления уровней ядра. Во-вторых, создаваемое катушкой 3 от генератора 5 высокочастотное поле B', направленное перпендикулярно B. Частота поля B' может изменяться. Назначение этого поля – резонансное опрокидывания спина ядра. В-третьих, создаваемое катушками 2 модулирующее переменное поле B_m, направленное параллельно B и имеющее низкую постоянную частоту 50 Гц. Назначение этого поля – повторять опрокидывание спина ядра 50 раз в секунду для того, чтобы в резонансе получить на осциллографе 6 стационарную картинку. Измеряя поглощаемую в резонансе образцом энергию, индукцию сильного магнитного поля B и частоту генератора, можно определить магнитный момент ядер на современных установках с точностью до 6 знаков.

в. Метод Исидора Раби, 1937 г. Методом ядерного магнитного резонанса нельзя измерить магнитный момент нейтрона, поскольку нейтроны не удерживаются в ампуле, они существуют только в пучках. Схема метода Раби показана на рис.137. Пучок нейтронов из источника 1 последовательно проходит через два сильно неоднородных магнитных поля 2 и 4 с противоположно направленными градиентами dBdy. В неоднородном магнитном поле траектория частицы, имеющей спиновый магнитный момент, искривляется по градиенту или против него в зависимости от ориентации магнитного момента. Первое магнитное поле 2 искривляет траекторию нейтронов, второе поле 4 фокусирует их на детектор 5. Если теперь в промежутке 3 между полями включить из предыдущей схемы комбинацию постоянного сильного однородного и слабого высокочастотного магнитных полей, то в резонансе спин нейтронов будет опрокидываться. В результате эти нейтроны не сфокусируются вторым неоднородным полем 4 и не попадут в детектор 5. Поэтому на графике интенсивности счета в детекторе в зависимости от частоты высокочастотного поля в резонансе будет резкий провал. Его положение и определит величину магнитного момента нейтрона.

В методе Раби могут использоваться так же молекулярные пучки и определяться магнитные моменты ядер.

Перечислим основные опытные факты по магнитным моментам нуклонов и атомных ядер.

а. Магнитные спиновые моменты протона M_p и нейтрона M_n составляют: M_p = 2,79 M_я, M_n = –1,91 M_я. Здесь M_я = eh2m_p = 5,05·10^–27 ДжТл – ядерный магнетон.

б. Магнитные моменты ядер с нулевым спином равны нулю.

в. Магнитные моменты ядер с ненулевым спином имеют порядок ядерного магнетона.

г. Спиновые магнитные моменты нуклонов не аддитивны. Например, дейтрон состоит из протона и нейтрона с параллельными спинами. Суммарный магнитный момент дейтрона должен быть M_d = M_p + M_n= 2,79 M_я – 1,91 M_я = 0,88 M_я. Но опыт даёт M_d = 0,86 M_я. Эта неаддитивность связана с нецентральностью сил, действующих мужду нуклонами.

7. Модели атомного ядра. Последовательная теория ядра не построена до сих пор из-за двух основных трудностей: недостаточного знания о силах, действующих между нуклонами, и громоздкости квантовой задачи многих тел. Ведь ядро с массовым числом A должно описываться системой, состоящей не менее чем из A уравнений. Эти трудности удаётся частично преодолеть путём создания ядерных моделей, позволяющих описывать с помощью простых уравнений некоторую совокупность свойств ядра.

Разработано около десятка моделей, каждая из которых описывает свою совокупность свойств ядра и свой круг явлений. Рассмотрим две из них.

а. Капельная модель. Её предложил Яков Френкель в 1937 г. Ядро в этой модели уподобляется капле жидкости, возбуждённое ядро - нагретой капле. Если  – энергия возбуждённого ядра с числом нуклонов A, то, приписав нуклонам 3 степени свободы, получаем:

. (19.6)

При  = 10 МэВ T ≈ 10⁹ K. Испускание нейтронов, протонов и -частиц в такой модели можно трактовать как испарение ядра капли.

Основанием для капельной модели послужило короткодействие ядерных сил и независимость плотности от массового числа A. Капельная модель позволила вывести полуэмпирическую формулу для энергии связи частиц в ядре и описать процесс деления тяжёлых ядер.

б. Оболочечная модель. Её предложила в 1951 г. Мария Гепперт-Майер. Основанием для оболочечной модели послужил факт существования особо устойчивых ядер, так называемых магических и дважды магических.

В этой модели нуклоны считаются движущимися независимо друг от друга в усреднённом центрально-симметричном поле. Полагается, что как и в атоме, в ядре имеются дискретные уровни, заполняемые нуклонами с учётом принципа Паули. Эти уровни группируются в оболочки, в каждой из которой может находиьтся определённое число нуклонов. Полностью заполненная оболочка образует устойчивое ядро.

Из опытного факта существования магических и дважды магических ядер следует, что заполненные оболочки содержат магическое число нуклонов 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Многие магические ядра более распространены во Вселенной, чем их немагические соседи. Кроме дважды магических (за исключением ) сюда относятся

Оболочная модель хорошо разработана математически и позволяет объяснить свойства магических ядер и ядер-соседей, отличающихся на 1 нуклон (недостающий или избыточный). В этой модели реальные силы, действующий между нуклонами, заменяются самосогласованным полем, в котором независимо друг от друга движутся нуклоны. Схема выстраивания оболочек чем-то напоминает заполнение таблицы Менделеева, но уступает ей по строгости.