1.6. Составление дифференциальных уравнений движения механических систем

Чтобы получить искомые уравнения, нужно в уравнения Лагранжа (1.1) подставить найденное ранее выражение кинетической энергии системы в обобщенных координатах и обобщенные силы Q₁, Q₂, … , Q_n.

При нахождении частных производных T по обобщенным координатам и по обобщенным скоростям следует учитывать, что переменные q₁, q₂, … , q_n; считаются независимыми между собой. Это значит, что определяя частную производную T по одной из этих переменных, все остальные переменные в выражении для Т следует рассматривать как постоянные величины.

При выполнении операции следует дифференцировать по времени все входящие в переменные величины.

Подчеркнем, что уравнения Лагранжа записываются для каждой обобщенной координаты q_i (i = 1, 2,…n) системы.

Пример 1.10

Составим дифференциальные уравнения движения системы на рис. 1.1. Как указывалось ранее, система имеет одну степень свободы, за обобщенную координату взята величина s. Кинетическая энергия системы определяется по формуле (ж), обобщенная сила – формуле (б).

Найдем производные, входящие в уравнение (1.1): , так как s в T явно не входит; далее

.

Подставляя найденные результаты в уравнение (1.1), получим искомое уравнение движения системы

.

Пример 1.11

Составим дифференциальные уравнения движения системы (рис. 1.2). Как указывалось, система имеет две степени свободы; за обобщенные координаты взяты величины x_A и x_D. Кинетическая энергия системы определяется формулой (и), обобщенные силы – формулами (в) и (г).

Найдем производные, входящие в уравнения (1.1):

Подставляя найденные результаты в уравнения (1.1), получим искомые уравнения движения системы

Пример 1.12

Составим дифференциальные уравнения движения системы (рис. 1.3). Как указывалось, система имеет две степени свободы, за обобщенные координаты взяты величины  и s. Кинетическая энергия системы определяется формулой (к), обобщенные силы – формулами (д) и (е).

Найдем производные, входящие в уравнения (1.1):

Подставляя найденные результаты в уравнения (1.1), получим искомые уравнения движения системы:

1.7. Методика решения задач с помощью уравнений Лагранжа

• Изображаем систему в произвольном положении и показываем действующие на нее активные силы.

• Устанавливаем число степеней свободы системы (подразд. 1.2) и выбираем обобщенные координаты (подразд. 1.3).

• Составляем выражение кинетической энергии системы в обобщенных координатах (подразд. 1.5).

• Определяем обобщенные силы системы (подразд. 1.4).

• Составляем дифференциальные уравнения движения системы для каждой обобщенной координаты (подразд. 1.6).

• Решаем полученную систему дифференциальных уравнений, определяем искомые величины.

Замечания

1. Если система дифференциальных уравнений не интегрируется в элементарных функциях, то решение задачи в данном пособии заканчивается составлением дифференциальных уравнений движения системы.

2. Если по условию задачи требуется определить обобщенные ускорения , то система дифференциальных уравнений решается как алгебраическая система уравнений.

Задача 1.1. Система на рис. 1.11 состоит из груза A, ступенчатого барабана B и катушки C. Постоянный момент M = 12Pr вращает барабан B, наматывая на него два троса, поднимающих груз A и катушку C, катящуюся без проскальзывания по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол .

Рис. 1.11

Вес груза A равен 5P, вес барабана B равен P, R = 2r. Радиус инерции барабана B относительно его оси вращения – r. Вес катушки C равен 2P, радиус инерции катушки относительно оси ее симметрии – .

Пренебрегая весом тросов и сопротивлением движению, составить дифференциальное уравнение движения системы и определить из этого уравнения угловое ускорение барабана B.

Решение. На систему (рис. 1.11) действуют активные силы: P_A, P_B, P_C и момент M.

Система имеет одну степень свободы, так как закрепление точки A, движущейся по прямой, ведет к остановке всей системы. За обобщенную координату возьмем угол  поворота барабана .

Определим кинетическую энергию системы:

T = T_A + T_B + T_C.

По формулам (2) ... (4) прил. 2 имеем

.

Выразим V_A, _B, _C, V_C через (рис. 1.12): , , . Мгновенный центр скоростей катушки находится в точке L, поэтому

.

Подставляя эти данные в T и учитывая, что

после преобразований получим

.

Определим обобщенную силу Q. Малое приращение обобщенной координаты _B и соответствующие возможные перемещения объектов системы показаны на рис. 1.13. Обратите внимание на аналогию между картиной скоростей системы (рис. 1.12) и картиной возможных перемещений (рис. 1.13).

Составим выражение суммы работ активных сил на возможных перемещениях:

.

Из анализа рис. 1.13 следует, что

.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

Подставляя эти результаты в и учитывая заданные условием задачи величины сил, после преобразований получим

.

Для составления дифференциального уравнения движения системы вначале установим, что

Подставляя эти результаты и найденное ранее Q в уравнение (1.1), после преобразований получим угловое ускорение барабана B

.

Далее предлагается самостоятельно решить задачу 1.2.

Рис. 1.14

Задача 1.2. Груз А весом Р посредством нерастяжимой нити, переброшенной через блок В, приводит в движение каток С, который катится без проскальзывания по наклонной плоскости (рис. 1.14). Каток и блок – однородные сплошные диски одинакового веса Q и радиуса r. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол . Следует составить дифференциальное уравнение движения системы под действием сил тяжести и затем определить из полученного уравнения ускорение груза А. За обобщенную координату рекомендуется взять x_A.

Ответ: a_A = (P – 0,5Q sin ) g (P + 0,875Q)^-1.

Задача 1.3. Система на рис. 1.15 состоит из диска D и стержня AB, соединенных между собой шарниром A.

Диск D может вращаться относительно горизонтальной оси O, перпендикулярной его плоскости. Сплошной однородный диск D имеет вес P, радиус r. Тонкий однородный стержень AB имеет вес 2P, длину 4r. Составить дифференциальные уравнения движения системы под действием сил тяжести. Сопротивлением движению пренебречь.

Решение. Активные силы системы – силы тяжести P_D и P_AB.

Для определения числа степеней свободы системы (рис. 1.15) закрепим вращающийся диск D. После этого стержень AB сможет вращаться вокруг неподвижной оси A. Если закрепить еще и стержень AB, то получим неподвижную систему. Это значит, что система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат системы возьмем углы  и .

Рис. 1.15 Рис. 1.16

Определим кинетическую энергию системы: T = T_D + T_AB.

По формулам (3) и (4) прил. 2 имеем

Выразим _D, _AB и V_C через обобщенные скорости : ; скорость точки C найдем по формуле

,

где , ; дифференцируя эти координаты по времени и подставляя результаты в формулу для V_C, получим

.

Эту формулу можно также получить, считая, что V_С – диагональ параллелограмма, построенного на скорости полюса А ( ) и скорости от вращения точки С вокруг полюса А ( ). Построение параллелограмма выполнено на рис. 1.15.

Далее, учитывая, что

получим после преобразований следующее выражение

.

Определим обобщенные силы Q₁ и Q₂ (рис. 1.16). Сумму работ активных сил P_D и P_AB будем определять, используя координатную форму работы силы (1.3б)

.

Из анализа рис. 1.16 следует:

.

По формулам (7) прил. 1 имеем

. (л)

Определение Q₁. Дадим системе первое возможное перемещение, когда  > 0,  = 0; из формул (л) имеем

;

далее находим

,

по формуле (1.4) .

Определение Q₂. Дадим системе второе возможное перемещение, когда  = 0,  > 0; из формул (л) имеем

;

далее находим

,

по формуле (1.4) .

Для составления дифференциальных уравнений движения системы вначале установим, что

Подставив эти результаты, а также найденные ранее Q₁ и Q₂ в уравнения (1.1), после преобразования получим искомые дифференциальные уравнения движения системы:

Далее предлагается самостоятельно решить задачу 1.4.

Рис. 1.17

Задача 1.4. Цилиндр В (рис. 1.17) весом Р и радиусом r, скатываясь по наклонной плоскости призмы А, приводит ее в движение по гладкому горизонтальному полу. Вес призмы А равен Q. Проскальзывание между цилиндром и призмой отсутствует. Цилиндр считать однородным сплошным телом. Составить дифференциальные уравнения движения данной системы под действием сил тяжести и определить из полученных уравнений ускорение призмы А и ускорение центра В цилиндра относительно призмы. В качестве обобщенных координат рекомендуется взять смещение s₁ призмы по полу и смещение s₂ центра В цилиндра по наклонной плоскости призмы.

Ответ: а_А = P sin2 g (3(P + Q) – 2P cos2)^-1,

a_B/A = 2 (P + Q) sin g (3(P + Q) – 2P cos2)^-1.

Задача 1.5. Система на рис 1.18 состоит из двух грузов A и B. Грузы соединены нерастяжимой нитью KE и пружиной EN, как показано на рис. 1.18. Вес груза A равен P, вес груза B равен 2P. Коэффициент жесткости пружины равен с, длина недеформированной пружины равна . Пренебрегая массами блока D, нити и пружины, а также сопротивлением движению, определить уравнения движения грузов. В начальный момент грузы неподвижны

, s₀ =  .

Решение. На систему действуют активные силы: P_A = P, P_B = 2P и упругие силы пружины F₁ = F₂ = c (s – ).

Система имеет две степени свободы, так как для остановки ее нужно закрепить две точки A и B, движущиеся по вертикали.

В качестве обобщенных координат возьмем x_B = x и s. Отметим, что координата s определяет длину пружины в произвольном положении.

Определим кинетическую энергию системы: T = T_A + T_В.

По формуле (2) прил. 2 имеем

Выразим V_A и V_B через обобщенные скорости и .

Из анализа рис. 1.19 следует: .

Рис. 1. 18 Рис. 1.19

Подставив эти значения в T и учитывая, что

,

получим

.

Определим обобщенные силы Q₁ и Q₂.

Определение Q₁. Дадим системе первое возможное перемещение, (рис. 1.20,а), когда x > 0, s = 0; при этом груз B переместится вниз на рас­с­тояние x, точка E и груз A переместятся вверх на такое же расстояние

,

затем по формуле (1.4) с учетом заданных значений сил получим Q₁ = P.

Определение Q₂. Дадим системе второе возможное перемещение, когда x = 0, s > 0 (рис. 1.20,б); при этом груз B и точка E останутся неподвижными, а груз A переместится вниз на расстояние s

,

затем по формуле (1.4) получим

.

Рис. 1.20

Для составления дифференциальных уравнений движения данной системы вначале установим, что

Подставляя эти результаты, а также найденные ранее обобщенные силы Q₁ и Q₂ в уравнения (1.1), получим искомые уравнения движения рассматриваемой системы

.

Решая совместно эти уравнения, получим

, (м)

. (н)

Для интегрирования уравнения (н) произведем замену переменной s на u так, чтобы это уравнение приняло вид дифференциального уравнения гармонических колебаний

, (п)

где

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (п), имеет мнимые корни. Поэтому решение уравнения (п) запишем в виде

Возвращаясь к переменной s, получим

. (р)

Из начальных условий найдем

Тогда уравнение (р) примет вид

. (с)

Подставляя (с) в (м), после преобразований получим

.

Интегрируя это дифференциальное уравнение с учетом заданных условием задачи начальных условий, найдем уравнение движения груза A:

.

Далее предлагается самостоятельно решить задачу 1.6.

Рис. 1.21

Задача 1.6. На однородный сплошной диск А весом Р и радиусом r (рис. 1.21) намотана нерастяжимая нить. Точка В вертикального участка этой нити соединена с нижним концом пружины ВD, верхний конец которой неподвижен. Коэффициент жесткости пружины равен с. В начальный момент диск находился в покое, пружина длиной была недеформированной, координата x центра цилиндра была равна x₀. Отпущенный без начальной скорости диск падает, разматывая нить и деформируя пружину. При этом центр диска движется по вертикали. Пренебрегая сопротивлением движению, массами нити и пружины, составить дифференциальные уравнения движения данной системы и, решая их, получить законы изменения обобщенных координат x и s.

Ответ: x = x_o + g/3(t² + 1/k² (1 – coskt)),

s =   + g/k² (1 – coskt),

где k = 3gc/P, g – ускорение свободного падения.