Пример 1

Система на рис. 1.1 состоит из груза A и барабана B, соединенных тросом, наматываемым на барабан. Постоянный вращающий момент M, приложенный к барабану, приводит груз в движение по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Момент инерции барабана B относительно оси вращения равен J, радиус его – r. Вес груза A равен P, коэффициент трения скольжения его о плоскость – f. Трением в подшипниках барабана пренебречь. Трос считать невесомым и нерастяжимым. Требуется определить ускорение груза A.

Пример 2

Система на рис. 1.2 состоит из цилиндра A, блока B и груза D. Груз D присоединен к нити, перекинутой через блок B и намотанной на цилиндр A. Система перемещается под действием сил тяжести так, что груз D движется по вертикали, а цилиндр A совершает плоскопараллельное движение, при котором центр A цилиндра движется по вертикали. Поворачиваясь вокруг оси z_A, цилиндр разматывает нить. Вес груза D равен P. Однородный сплошной цилиндр A имеет вес 2P, радиус r. Момент инерции блока B относительно оси вращения равен J, радиус его r. Нить считать невесомой и нерастяжимой. Трением и сопротивлением движению системы пренебречь. Требуется определить ускорение груза D и ускорение центра A цилиндра.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Рис. 1.3

Пример 3

Система на рис. 1.3 состоит из однородного стержня AB длиной L и весом P, на который надет шарик D весом G. Размерами шарика пренебречь.

Стержень может вращаться вокруг оси z в вертикальной плоскости xy. Шарик присоединен к точке A пружиной. Длина пружины в ненапряженном состоянии , коэффициент жесткости равен c, вес пружины не учитывать. Пренебрегая трением и сопротивлением движению, требуется определить угловое ускорение стержня и ускорение шарика в его движении по стержню.

1.2. Определение числа степеней свободы системы

Напомним (подробнее см. прил. 1), что числом степеней свободы системы называется число независимых возможных перемещений этой системы. Число степеней свободы системы определяют следующим образом. Вначале у системы исключают одну степень свободы (для этого закрепляют точку, движущуюся по заданной линии, или закрепляют вращающееся тело). Если после этого подвижность системы будет полностью устранена, значит у системы одна степень свободы. Если же подвижность сохранится, то исключают еще одну степень свободы. И так далее до полной остановки системы. Число таких исключений равно числу степеней свободы системы.

Учитывая сказанное, легко убедиться, что система на рис. 1.1 имеет одну степень свободы, а системы на рис. 1.2 и 1.3 – две степени свободы.

Иногда в соответствии с условием задачи некоторые возможные перемещения системы в расчет не принимаются. Так, в примере 2 горизонтальные возможные перемещения точек A и D не учитываются, потому что по условию задачи эти точки движутся по вертикали.

1.3. Выбор обобщенных координат

Напомним, что обобщенными координатами называются независимые между собой переменные параметры системы, которые однозначно определяют положение тел и точек этой системы в любой момент времени. В качестве обобщенных координат обычно выбирают углы поворота тел системы или координаты ее точек. Начало и положительное направление отсчета каждой обобщенной координаты рекомендуется выбирать так, чтобы в процессе движения эти координаты возрастали. Если система имеет положение статического равновесия, то начало отсчета рекомендуется выбирать так, чтобы в положении статического равновесия все обобщенные координаты системы были равны нулю.

Во многих случаях выбор обобщенных координат определяется условием задачи. Если в задаче нужно найти ускорение а некоторой точки, движущейся вдоль оси x, то в качестве обобщенной координаты следует взять координату x этой точки, то есть q = x. Тогда искомое ускорение . Если же в задаче требуется найти угловое ускорение  тела, вращающегося вокруг оси, то в качестве обобщенной координаты следует взять угол  поворота тела вокруг этой оси. Тогда искомое угловое ускорение .