6. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции. Теорема Гюйгенса.

Момент инерции относительно оси

Скалярная величина или

называется моментом инерции относительно оси l. r – расстояние от точки до оси.

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции.

Величина называется радиусом инерции.

Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой же оси определяется выражением .

Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. (Теорема Штейнера)

Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Изменение кинетической энергии материальной точки при ее переходе из начального положения в текущее положение равно совершенной при этом переходе работе сил, приложенных к точке.

8. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Изменение кинетической энергии системы на некотором её перемещении, равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом же перемещении. В случае не изменяемых систем: .

9. Работа силы. Основные виды работ.

Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.

Э лементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

10. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы.

Рассмотрим движение для несвободной точки и запишем для неё второй закон Ньютона:

Для материальной точки, векторная сумма активной силы F, реакций связи R и силы инерции Даламбера в каждый момент времени равно нулю.

Замечание: значение принципа Даламбера в том, что уравнение динамики можно представить в виде уравнения статики.

11. Принцип возможных перемещений. Число степеней свободы.

Пусть материальная система находится в равновесии. Силы, действующие на каждую ее точку, уравновешиваются. Если   – равнодействующая  всех активных сил, приложенных к i-той точке,  а   – реакция  связей этой точки,  то (рис.65)   

Рис.65

 

Дадим системе какое-нибудь возможное перемещение. Все точки ее получат перемещения  ,  ,  ,…,  .

Затем вычислим работу всех сил на этих перемещениях.

Так как силы, приложенные к каждой точке уравновешиваются и  , то сумма работ этих сил на перемещении   будет равна нулю:  . Значит и сумма работ всех сил, приложенных ко всем точкам, будет равна нулю

.

Если связи идеальные, то вторая сумма всегда равна нулю. Значит,

                                                   (1)

Этот результат, уравнение работ, называют общим уравнением статики.

При равновесии материальной системы с идеальными и стационарными связями сумма работ всех активных, задаваемых, сил на любом возможном перемещении системы из положения равновесия равна нулю.

Для определения числа степеней свободы системы поступают следующим образом. Вначале у системы исключают одну степень свободы (для этого закрепляют точку, движущуюся по заданной линии, или закрепляют вращающееся тело). Если после этого подвижность системы будет полностью устранена, значит, у системы одна степень свободы. Если же подвижность сохранится, то исключают еще одну степень свободы; и так далее до полного устранения подвижности системы (до полной остановки системы). Число таких исключений равно числу степеней свободы системы.