2.4. Составление дифференциальных уравнений движения консервативных систем
Чтобы получить искомые уравнения для консервативной системы, нужно вначале записать функцию Лагранжа L = T – П, затем подставить L в уравнения (2.1). При дифференцировании функции L следует принять во внимание все замечания, относящиеся к дифференцированию функций T в подразд. 1.6.
Далее предлагается самостоятельно сформировать функцию Лагранжа L для системы на рис. 2.1, подставить эту функцию в уравнение Лагранжа (2.1) и убедиться, что полученные этим способом дифференциальные уравнения движения совпадают с уравнениями для той же системы из подразд. 1.6 (пример 1.12).
При
решении задач в некоторых случаях может
получиться, что одна какая-либо обобщенная
координата qi
системы не входит явно в функцию Лагранжа
L. Тогда будем иметь
.
Соответствующее этой координате
уравнение Лагранжа в (2.1) имеет вид
.
Из этого следует, что
. (2.4)
Выражение (2.4) называют циклическим интегралом, а координату qi – циклической координатой. Наличие циклического интеграла существенно упрощает решение задачи.
2.5. Методика решения задач с помощью уравнений Лагранжа для консервативных систем
Проверить, действительно ли консервативна рассматриваемая система (подразд. 2.2).
Определить число степеней свободы системы и выбрать ее обобщенные координаты (подразд. 1.2 и 1.3).
Записать выражение кинетической энергии системы в обобщенных координатах (подразд. 1.5).
Составить выражение потенциальной энергии системы (подразд. 2.3).
Составить дифференциальные уравнения движения системы (подразд. 2.4).
Решая полученную систему дифференциальных уравнений, определить искомые величины.
При решении задач надо учитывать замечания, сделанные в подразд. 1.1.
Задача
2.1. Система на рис. 2.3 состоит из
призмы A весом 2P
и соединенного с ней шарниром тонкого
однородного стержня AB
весом P и длиной
.
При движении системы стержень колеблется
в вертикальной плоскости, призма A
движется вдоль оси x.
Пренебрегая сопротивлением движению,
составить дифференциальные уравнения
движения этой системы и затем найти
зависимость между скоростью призмы и
угловой скоростью стержня, если в
начальный момент
.
Активные силы – силы тяжести призмы и стержня. Поэтому согласно подразд. 2.2 система консервативна.
Система на рис. 2.3 имеет две степени свободы, так как для ее остановки нужно закрепить сначала призму, движущуюся прямолинейно, а затем стержень, вращающийся вокруг оси A.
Положение статического равновесия системы обозначим M0, в этом положении стержень вертикален (рис. 2.4).
Рис. 2.3 Рис. 2.4
В качестве обобщенных координат возьмем величины x и . Эти координаты в положении M0 равны нулю.
Определим кинетическую энергию системы T = TA + TAB.
По формулам (2) и (4) прил. 2
Выразим VA,
AB
и VC
через обобщенные скорости
и
:
из анализа рис. 2.4
следует, что
,
где
;
далее по формуле, определяющей диагональ
параллелограмма, находим
.
Подставляя эти результаты в T и учитывая, что
,
получим
.
Определим потенциальную энергию системы на рис. 2.4. Для этого вычислим работу сил на перемещении системы из положения M в положение M0:
.
Далее согласно формуле (2.2) имеем
.
Для составления дифференциальных уравнений движения системы вначале найдем функцию Лагранжа
.
Обобщенная
координата x не входит
явно в L: она является
циклической. Ей соответствует циклический
интеграл (2.4):
или
.
(а)
Это
первое дифференциальное уравнение
движения рассматриваемой системы. Из
уравнения (а) при начальных условиях
t = 0
,
получим
.
Это искомая зависимость между скоростью призмы и угловой скоростью стержня.
Для получения второго дифференциального уравнения движения системы найдем
Подставляя эти результаты в (2.1), получим
. (б)
Рис. 2.5
Далее предлагается самостоятельно решить задачи 2.2 и 2.3.
Задача 2.2. Блок D подвешен к нижнему концу вертикальной пружины, верхний конец которой неподвижен (рис. 2.5). Коэффициент жесткости пружины равен с. Через блок перекинута нерастяжимая нить с грузами А и В на концах, массы грузов соответственно равны m1 и m2. Выбирая за обобщенные координаты удлинение x пружины из положения статического равновесия и расстояние y груза А от оси блока, составить дифференциальные уравнения движения данной системы. Массой нити и блока пренебречь.
Ответ:
Задача 2.3. Составить дифференциальные уравнения движения системы на рис. 2.2, учитывая условия задачи, соответствующие этому рисунку (см. подразд. 2.3). Сопротивлением движению системы пренебречь. В качестве обобщенных координат взять углы 1 и 2.
Ответ:
*)*) Связи системы называются голономными, если их уравнения могут быть записаны в виде, не содержащем производные от координат по времени или дифференциалов координат.
**)**) Связи системы называются стационарными, если ограничения, накладываемые ими на положение тел и точек системы, не изменяются при движении.