27. Дискретна модель стержневої системи. Типи скінченних елементів.

Скінченоелементна модель розрахункової схеми стержневої системи

Перший етап розрахунку полягає в дискретизації, тобто в переході від розрахункової схеми стержневої системи до її скінченноелементної моделі. Вихідна розрахункова схема розбивається на окремі стержні (скінченні елементи) і вузли. В стержневих системах за скінченні елементи беруться, як правило, прямолінійні стержні постійної жорсткості, на яких може бути розташоване рівномірно розподілене зовнішнє навантаження. Криволінійні стержні апроксимуються кількома прямолінійними елементами. Аналогічно апроксимуються стержні, що мають змінну жорсткість, або ті, до яких прикладено нерівномірно розподілене навантаження. Така схема споруди називається її дискретною, або скінченноелементною моделлю (СЕМ).

Вузлами скінченноелементної моделі вважатимемо точки поєднання двох або більше окремих стержнів, ступінчастої зміни жорсткості стержнів, прикладення зосереджених зовнішніх сил або моментів, ступінчастої зміни інтенсивності розподіленого навантаження, опорні вузли. Отже, скінченноелементна модель складається з невагомих прямолінійних стержнів постійної жорсткості, які примикають на кінцях до вузлів скінчено елементної моделі. Перехід від розрахункової схеми до скінченноелементної моделі показано на рис. Розрахункова схема рами (рис. а) перетворена на дискретну модель (рис. б).

Вузли скінченноелементної моделі у даному прикладі пронумеровані в довільному порядку,

але спосіб нумерації впливає на структуру системи розв’язувальних рівнянь.

У плоскій дискретній моделі можливі чотири типи скінченних елементів, які розділяються між собою граничними умовами, тобто способами примикання до вузлів:

 жорсткий вузол на початку і жорсткий вузол на кінці стержня (рис. а);

 жорсткий вузол на початку і шарнірний вузол на кінці стержня (рис. б);

 шарнірний вузол на початку і жорсткий вузол на кінці стержня (рис. в);

 шарнірні вузли на початку і на кінці стержня (рис. г).

28. Глобальна і локальна системи координат. Зв’зок між ними.

Для ідентифікації будь-якого скінченного елемента достатньо вказати номери вузлів, які він поєднує. Для визначення взаємного розташування вузлів, їх кінематичних і статичних характеристик вводиться загальна для всієї скінченноелементної моделі система координат xy, яка називається загальною, або глобальною.

Безпосередньо з кожним стержнем пов’язується його власна система координат x’y’, якою

зручно користуватися за для аналізу напружено-деформованого стану стержня. Така система координат називається локальною. Початок локальної системи координат пов’язується з тим вузлом, який має менший номер. Цю точку називають початком стержня, а точку, яка розташована на протилежному кінці стержня його кінцем.

Вісь x’ спрямовують вздовж стержня від його початку до кінця, а вісь y’ перпендикулярно до стержня, проти руху годинникової стрілки (рис.6.2). На рисунку початок стержня позначено літерою і, а кінець літерою j.

Рис. 6.2

Довжина стержня обчислюється через координати вузлів на початку і на кінці за формулою:

де x_i ,x_j , y_i , y_j координати відповідних вузлів у глобальній системі координат.

Тригонометричні функції кута β повороту локальної системи координат стержня відносно

глобальної системи координат усієї скінченноелементної моделі обчислюються за формулами: