15. Явная и неявная схемы численного определения температурных полей

В зависимости от того, по какому распределению температуры в теле вычисляются величины и , различают явную и неявную схемы численного решения задачи теплопроводности.

При явной схеме и определяют по предшествующему распределению температуры (по отношению к искомому), т.е. следующим образом:

так что имеем

, (1.63)

где коэффициенты теплопроводности вычисляются как

При неявной схеме величины и определяют по искомому распределению температуры, так что вместо (1.63) получают формулу

. (1.63)

Явная схема счета является устойчивой при выборе соотношения между шагами x и  по правилу

.

Неявная же схема счета является абсолютно устойчивой, так что, вообще говоря, не имеется ограничений на выбор величин x и .

13. Метод элементарного теплового баланса при численном решении задач теплопроводности.

Определение температурных полей в телах сложной формы при зависящих от температуры характеристиках материала тела (с = с(T),  = T  = T связано с решением проблемы многомерности и нелинейности, преодолеваемой, в общем случае, с привлечением возможностей ЭВМ.

При численном решении температуру определяют в дискретных точках пространства, отстоящих друг от друга на величину шага x, и в дискретные моменты времени длительностью  каждый.

При этом полагают известным распределение температуры в n-й момент времени, т.е. поле температуры

и отыскивают распределение, отстоящее от него на временной шаг  в (n+1)-й момент времени.

Изменение внутренней энергии в i-м пространственном слое за 1 с будет равно

(1.63)

где и - предыдущее и последующее значения температуры в середине i-го слоя пластины; и - плотности теплового потока, “втекающего” из (i–1)-го слоя в i-й слой и «вытекающего» из него в сторону (i+1)-го слоя; и – значения удельной теплоемкости и плотности вещества, выбранные из таблицы (массива) их зависимости от температуры в середине i-го слоя:

и .

В зависимости от того, по какому распределению температуры в теле вычисляются величины и , различают явную и неявную схемы численного решения задачи теплопроводности.

17. Неявная схема численного решения двухмерной задачи теплопроводности

Для решения системы уравнений нестационарной теплопроводности, ее разностный аналог ее нужно замкнуть путем присоединения двух дополнительных уравнений, представляющих собой конечно-разностный аналог граничных условий. При их формулировке полагают, что между серединами первого фиктивного слоя и примыкающего к нему первого (по оси Ох) слоя пластины и между серединами последнего слоя пластины и примыкающего к нему второго фиктивного слоя температуры распределены в пространстве линейно, т.е. выполняются равенства , (1.72)

. (1.73)

С учетом (1.72), (1.73) граничные условия третьего рода (1.66), (1.67) записываются как

, (1.74)

. (1.75)

Если же заданы граничные условия второго рода (плотности тепловых потоков и на ограничивающих поверхностях пластины), то с учетом (1.72), (1.73) они будут представлены в виде

, (1.76)

. (1.77)

Если направления векторов и совпадают с направлением оси Ox, то в (1.76), (1.77) их численные значения положительны.