1.6. Краевая задача нестационарной теплопроводности

Из всего вышеизложенного ясно, что для определения нестационарного температурного поля решают уравнение Фурье совместно с присоединенными к нему начальным условием и граничными условиями. Последние содержат, как было сказано, известную из физических соображений или из результатов измерений информацию о тепловой обстановке на ограничивающих поверхностях тела. Совокупность перечисленных уравнений и формирует так называемую краевую задачу теплопроводности, которую решают аналитически или численно.

Рассмотрим для примера задачу нестационарной теплопроводности для тел простейшей формы (пластина, цилиндр, шар), когда их ограничивающая поверхность в течение всего процесса изотермична (одномер­ное температурное поле), начальная температура T₀ везде одинакова и заданы граничные условия третьего рода, т.е. известны величины коэффициента теплоотдачи  и температура омывающего тело потока. Пусть полутолщина пластины или радиус цилиндра (шара) равны l₀, а теплофизические характеристики c, ,  материала постоянны. Изобразим сначала графически на рис. 1.8 одно из этих тел (пластину) и развивающееся в нем во времени температурное поле при нагревании ( > T₀).

Рис. 1.8

Для рассматриваемой ситуации краевая задача нестационарной теплопроводности имеет вид

(1.28)

(1.29)

, (1.30)

. (1.31)

В записи краевой задачи (1.28)–(1.31) отражен факт симметричного развития температурного поля относительно плоскости (оси, центра) симметрии тела, т.е. относительно x = 0.

В краевой задаче (1.28) – (1.31) известны форма тела (величина s), его характерный размер l₀, а также величины a, , T₀, , , т.е. известны параметры задачи, изменяющиеся от одной конкретной ситуации к другой, и отыскивается температурное поле T(x,), так что в итоге получаем, что температура T отыскивается из решения задачи (1.28) – (1.31) в виде зависимости от аргументов x,  и от параметров s, a, , T₀, , , l₀:

(1.32)

Таким образом, подлежит определению функция Т девяти переменных, теорема существования и единственности которой для краевой задачи (1.28)–(1.31) доказана в математической физике.

Сначала с целью уменьшения числа переменных исходную задачу приводят к безразмерному виду следующим образом.

Вместо «размерной» температуры T(x,)  [T₀; ] вводится безразмерная относительная температура (x,) по правилу

так что в задаче (1.28)–(1.31) надо везде заменить T на , подставив

Далее, вместо размерной протяженности x  [0; l₀] вводится безразмерная протяженность  = x/l₀[0;1], так что в исходной задаче надо везде заменить x на x = l₀.

Задача (1.28) – (1.31) принимает в результате таких подстановок вид

(1.28)

,

(1.29)

(1.30)

(1.31)

Сформируем безразмерные комплексы в (1.28) и в (1.30). Безразмерный комплекс представляет собой безразмерное время и называется числом Фурье , а безразмерный комплекс представляет собой известную безразмерную интенсивность внешнего теплообмена потока с поверхностью тела и называется критерием Био . Число Фурье Fо содержит в себе аргумент задачи  и поэтому является ее безразмерным аргументом, а критерий Био Bi составлен из известных при постановке задачи параметров.

В конечном виде имеем следующую задачу нестационарной теплопроводности относительно искомой температуры (, Fо)

(1.28)

(1.29)

(1.30)

(1.31)

Решение задачи (1.28)–(1.31) отыскивается в виде функции от четырех переменных (вместо девяти в (1.32)) как

(1.33)