1. Механизм процесса теплопроводности в твёрдых телах, жидкостях и газах.

Механизм процесса обусловлен видом носителя тепла в твердых телах, жидкостях и газах.

В металлах электроны (электронный газ) при своем перемещении переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию беспорядочного теплового движения, осуществляя тем самым процесс теплопроводности, в котором колебания узлов (ионов) решетки принимают незначительное участие при низких и комнатных температурах. С ростом температуры влияние последних усиливается, создавая помехи движению электронного газа, так что чем выше температура чистого метала, тем хуже он проводит тепло. Опыты свидетельствуют, что для сплавов не имеется однозначной связи между ростом их температуры и падением проводимости тепла.

В диэлектриках нет свободных электронов и перенос тепла в них осуществляется за счет колебания узлов решеток (фононная проводимость тепла). Если в каком-то месте диэлектрик нагревают, то усиливающиеся в нем колебания узлов распространяются в теле в виде затухающей волны, так как узлы связаны межмолекулярным взаимодействием.

В полупроводниках, находящихся при низких температурах, мало свободных электронов и тепло в них при этом распространяется, как в диэлектрике. При средних температурах вклад электронной проводимости возрастает, а при высоких температурах она становится преобладающей.

В неподвижных газовых слоях носителями тепла являются хаотически движущиеся молекулы (атомы). Если газ в каком-то месте нагревать, то в нем увеличивается среднеквадратичная скорость движения молекул, которые, сталкиваясь с более удаленными медленными (холодными) молекулами, увеличивают их кинетическую энергию и, как следствие, при этом увеличивается и температура газа.

Наименее изучен процесс теплопроводности в жидкостях. Не вдаваясь в детали теории жидкого состояния вещества, укажем на то, что в настоящее время полагают, что жидкости в течение некоторого очень малого промежутка времени, называемого временем релаксации, можно рассматривать как кристаллические структуры. Затем эти структуры разрушаются и поведение жидкости соответствует газовому состоянию. В каждом из этих чередующихся состояний действует свой механизм переноса тепла.

2. Гипотеза ж.-б. Фурье

В 1822 г. вышла книга выдающегося французского математика Ж.-Б. Фурье «Аналитическая теория теплоты», в которой изложен метод нахождения нестационарных температурных полей в твердых телах. Отправной точкой всех имеющихся там выкладок является идея (гипотеза) Ж.-Б. Фурье о виде связи между вектором плотности теплового потока с какого-либо места изотермической поверхности T = const и значением градиента температуры gradT в этом месте.

Фурье предположил, что существует прямая пропорциональность между величинами и gradT, т.е.

. (1.1)

Учитывая разнонаправленность указанных в (1.1) векторов, имеем также

. (1.1)

Чтобы перейти в (1.1) от пропорции к равенству, Ж.-Б. Фурье ввел коэффициент пропорциональности  и получил зависимость

, (1.2)

представляющую собой математическую запись его гипотезы.

Величина  численно равна

(1.3)

и совпадает с плотностью теплового потока при значении |gradT|, равном 1 К/м.

Фурье назвал  коэффициентом теплопроводности материала тела. Зависит величина  от вида материала тела, его пористости, влажности и, что очень существенно, от самой температуры Т. При наличии этой последней зависимости принято представлять (1.2) в виде

. (1.2)

Нетрудно видеть, что в этом случае зависимость между и Т становится нелинейной, что очень осложняет расчет процесса теплопроводности.

Определяется величина  экспериментально в виде функции названных выше параметров с использованием формулы (1.3), однако не в столь прямом виде.

Численное значение плотности теплового потока q равно модулю (длине) вектора и определяется по формуле , (1.4)

где – единичный вектор внешней нормали.

Для вычисления скалярного произведения векторов gradT и надо иметь в виду, что каждый из них в декартовой системе координат равен соответственно

(1.5)

где – орт-векторы, , , и  – углы между осями x, y, z и направлением соответственно. В итоге величина q определяется по формуле

. (1.6)

Покажем, как надо использовать зависимость (1.6) для нахождения величины q в неограниченной пластине, ограничивающие поверхности которой поддерживаются в процессе теплопроводности изотермическими, так что вектор нормали совпадает с направлением 0x (рис. 1.3).

В этом случае имеем так называемое одномерное температурное поле в теле, при котором вектор через каждую изотермическую поверхность параллелен 0х или, что то же, параллелен вектору .

Рис. 1.3

Ясно, что в рассматриваемом примере  = 0,  = /2,  = /2, , так что использование (1.6) дает

. (1.7)

Отметим, что величина q получается положительной, если вектор совпадает с направлением (приведенное на рис. 1.3, а распределение температуры по толщине пластины относится к этой ситуации), и наоборот, q < 0, если и являются разнонаправленными векторами (распределение температуры на рис. 1.3, б).

Нетрудно видеть, что в (1.7) величина численно равно tg .