ГОСНИК телотехники / ТМО / Книга222

вектором, направленным в сторону больших значений температур в теле. Именно градиент температуры gradT выступает в качестве движущей

силы процесса теплопроводности.

Рис. 1.2

Количество тепла, проходящего через всю площадь изотермической поверхности за время , называется тепловым потоком Q [Дж], а та его

потока является вектором, направленным в сторону меньших значений температуры, и для изотропных тел он находится на одной прямой с градиентом температуры gradT , т.е. угол между этими векторами равен .

1.3. Гипотеза Ж.-Б. Фурье

Фурье предположил, что существует прямая пропорциональность

(1.1)Чтобы перейти в (1.1 ) от пропорции к равенству, Ж.-Б. Фурье ввел

(1.2)представляющую собой математическую запись его гипотезы. Величина

потока при значении |gradT|, равном 1 К/м. Фурье назвал коэффициентом теплопроводности материала тела. Зависит величина от вида материала

тела, его пористости, влажности и, что очень существенно, от самой

температуры Т.

1.4. Уравнение Фурье

Основной задачей теории теплопроводности является определение температуры в любой точке тела в любой момент времени от начала его нагревания или охлаждения, т.е. установление связи вида

Уравнение Фурье первоначально установим для самого простого случая одномерного распространения тепла в пластине (рис. 1.3). Выделим двумя плоскостями, параллельными ограничивающим плоскостям тела, слой толщиной dx и рассмотрим прохождение тепла через единицу площади изотермической поверхности (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Представляется очевидным, что если в выделенный слой, объем которого равен 1 dx, тепла «втекает» больше, чем «вытекает» (q(x ) q(x dx )) , то температура в нем во времени будет повышаться

процессу стационарной теплопроводности.

Пусть за время d температура в выделенном объеме изменится на величину dT, так что изменение внутренней энергии за единицу времени составляет

U cm T ,

(1.9)

где m V F dx 1 dx – масса; c и – удельная теплоемкость и плотность, так что имеем

температура T меняется не только во времени, но и в пространстве (в нашем случае она изменяется по координате x).

Единственной причиной изменения внутренней энергии во времени

Разложим q(x + dx) в ряд Тейлора в окрестности точки с координатой x и ограничимся линейной частью разложения, тогда получим

Приравнивая правые части (1.9) и (1.10 ), получаем

так что уравнение (1.11) при = const принимает вид

(1.11 )

Это и есть уравнение Фурье, описывающее нестационарное одномерное (изменяющееся лишь по 0x) температурное поле в пластине.

В случае распространения тепла в прямолинейной призме (брусе) бесконечной длины и произвольной формы поперечного сечения с изотермической ограничивающей поверхностью достаточно рассмотреть распространение тепла в сечении, перпендикулярном оси призмы (рис. 1.2). Таким образом, мы приходим к понятию двухмерного температурного

поля,

формирующегося в том случае, когда вектор плотности теплового потока «втекающего» и «вытекающего» в элементарный участок сечения призмы имеет ненулевые компоненты в направлениях 0x и 0y (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Элементарный участок сечения призмы имеет вид прямоугольника и выделен плоскостями, отстоящими на x и x + dx, а также на y и y + dy от начала координат и имеет протяженность L в направлении 0z, перпендикулярном плоскости чертежа. В этом случае получаем последовательно

имеем в окончательном виде уравнение Фурье для описания двухмерного температурного поля

Уравнение Фурье представляет собой математическую запись закона

сохранения энергии для ее тепловой формы, конкретный вид которой обусловлен использованием гипотезы Фурье q gradT .

1.5. Краевые условия для уравнения Фурье

Уравнение Фурье представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка и его решение (интегрирование) приводит к появлению в структуре решения произвольных функций от аргументов x, y, z, , т.е. получаем при этом неоднозначное решение о температурном поле в теле.

Чтобы эти произвольные функции определить и получить однозначное решение поставленной задачи, очевидно, что к уравнению Фурье должны быть присоединены дополнительные уравнения, представляющие собой математическое описание известных условий протекания исследуемого процесса теплопроводности. Эти условия называются краевыми, так как они содержат в себе информацию об условиях на «краях» рассматриваемого явления.

Процесс нестационарной теплопроводности развивается во времени и в пространстве и имеет на них края.

Временным краем процесса является момент его начала, соответствующий моменту времени = 0, отсчитываемому от начала нагревания или охлаждения тела. Температурное поле в теле при = 0 полагают известным и представляют в виде зависимости

Формула (1.19) является математической записью начального условия задачи нестационарной теплопроводности. При одинаковой начальной температуре во всех точках тела это условие становится простейшим и принимает вид

В пространственные края включаются все точки на всех ограничивающих тело поверхностях. На пространственных краях полагают известными тепловые условия в течение всего процесса теплопроводности и их математическую запись называют граничными условиями для уравнения Фурье.

Рассматриваемое твердое тело может омываться потоками жидкости

(газа), нагреваться (или остывать) излучением, на его поверхностях могут быть размещены нагреватели и т.п. В зависимости от рода известной информации о тепловой обстановке на ограничивающих поверхностях тела различают граничные условия первого (ГУ-I), второго (ГУ-II), третьего (ГУIII) и четвертого (ГУ-IV) рода.

Если из физических соображений или в результате проведенных измерений известна температура TW на поверхности Г тела, то мы располагаем граничными условиями первого рода в форме

В простейшем случае в течение всего процесса во всех точках на всех поверхностях тела температура одинакова, и тогда вместо (1.20) имеем ГУ-I в виде

Если известна плотность теплового потока q на поверхности тела, то к уравнению Фурье присоединяют ГУ-II в форме

Граничные условия третьего рода (ГУ-III) присоединяют к уравнению Фурье в том частном случае, когда тело омывается потоком жидкости (газа), температура которого Tf ,0 на удалении от тела известна (рис.1.6).

Рис. 1.6

При этом плотность теплового потока, передаваемого от движущейся среды к поверхности тела, полагают пропорциональной разности температур TW –Tf ,0 (температура поверхности TW неизвестна и сама

подлежит определению)

q qW (TW Tf ,0 ), 0.

(1.22 )

В формуле (1.22 ) считаются известными лишь величины Tf ,0 и .

(1.23)

Зависит величина от следующих факторов:

1)от относительной скорости потока (чем эта скорость больше, тем больше и );

2)от режима его течения у поверхности тела (в дальнейшем будут рассмотрены ламинарный, переходной и турбулентный режимы течения);

3)от теплофизических свойств движущейся среды (например, для

жидкостей больше, чем для газов);

4)от формы обтекаемого тела (у плохо обтекаемых тел в потоке образуются вихри, он турбулизируется, и вследствие этого становится больше);

5)от шероховатости поверхности (для большей шероховатости больше вследствие упомянутой выше турбулизации течения).

Плотность теплового потока, передаваемого через ограничивающую поверхность тела, «входит» внутрь твердого тела (или «выходит») механизмом теплопроводности и для ее определения применима также

формула (1.4), так что вместо (1.22 ) имеем также

(1.24)

или

(1.24 )

Граничные условия четвертого рода относятся к специфическому случаю теплового контакта между двумя твердыми телами (рис. 1.7). При этом возможен случай идеального теплового контакта (вариант а, когда поверхность Г тел № 1 и № 2 является общей) и неидеального теплового контакта (вариант б на рис. 1.7), когда поверхности Г тел № 1 и № 2 разделены газовой прослойкой, слоем окислов, слоем масла и т.п.

Рис. 1.7