1.Математические модели в экономическом анализе

Широкое использование математических моделей является важным направлением совершенствования экономического анализа. Конкретизация данных или представление их в виде математической модели помогает выбрать наименее трудоёмкий путь решения, повышает эффективность анализа.

Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов.

Самыми существенными моментами при постановке и решении экономических задачах в виде математической модели являются:

адекватность экономико-математической модели действительности;
анализ закономерностей, соответствующих данному процессу;
определение методов, с помощью которых можно решить задачу;
анализ полученных результатов или подведение итога.

Под экономическим анализом понимается прежде всего факторный анализ.

Пусть - некоторая функция, характеризующая изменение показателя или процесса; - факторы, от которых зависит функция . Задана функциональная детерминированная связь показателя y с набором факторов . Пусть показатель y изменился за анализируемый период. Требуется определить, какой частью численное приращение функции обязано приращению каждого фактора.

Можно выделить в экономическом анализе - анализ влияния производительности труда и численности работающих на объем произведенной продукции; анализ влияния величины прибыли основных производственных фондов и нормируемых оборотных средств на уровень рентабельности; анализ влияния заемных средств на маневренность и независимость предприятия и т. п..

В экономическом анализе, кроме задач, сводящихся к разбиению его на составляющие части, существует группа задач, где требуется функционально увязать ряд экономических характеристик, т.е. построить функцию, содержащую в себе основное качество всех рассматриваемых экономических показателей.

В этом случае ставится обратная задача- так называемая задача обратного факторного анализа.

Пусть имеется набор показателей , характеризующих некоторый экономический процесс F. Каждый из показателей характеризует этот процесс. Требуется построить функцию изменения процесса F, содержащую основные характеристики всех показателей

Главный момент в экономическом анализе - определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения.

2. Задача оптимального распределения ресурсов

Расчетные методы, которые могут быть эффективно применены при анализе и расчете производственных планов, опираются на специально разработанный математический аппарат. Математическая теория таких расчетов известна под названием линейного программирования.

Линейное программирование описывает условия принятия экономических решений с помощью линейных функций, линейных уравнений и неравенств. Оно позволяет в достаточно простой и математически строгой форме отделить допустимые решения от недопустимых, проанализировать множество допустимых решений и однозначно ответить на вопрос о существовании или не существовании самого лучшего, оптимального решения. Если такое оптимальное решение существует, то методы линейного программирования позволяют его найти. Соответствующие расчеты и анализ полученных результатов могут быть проведены на компьютере.

Задача о диете

Исторические задача о диете является одной из первых задач линейного программирования.

Постановка задачи - первый и наиболее важный этап построения модели, способный обеспечить правильное решение проблемы.

Даме необходимо похудеть, за помощью обратилась к подруге.

Построение модели - рассмотрение этого этапа и является главной целью.

Подруга посоветовала перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q.

Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке с продуктом Q - 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 килограмма продукта Р равна 15 руб., а 1 кг продукта Q - 25 руб.

Так как дама была стеснена в средствах, но ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?

Перейдем к формализации данной ситуации на языке математических символов.

Обозначим через х количество продукта Р и через у количество продукта Q, требуемые для выполнения условий диеты.

Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 15х + 4 и по условию диеты не должно превосходить 14:

В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 150х + 200у и по условию диеты должно быть не меньше 300: