8. Zagadnienie izokwant czynników I krańcowych stóp substytucji w dwuczynnikowym modelu potęgowym

Ŷ_k = α₀ X_1t^α1X_2t^α2 | … j = 1,..,k

lnYt = lnα₀ + α₁lnX_1t + …

∑αj >1

∑αj = 1

∑αj <1

Vt = α₀ k_t^α1 l_t^α2

k-kapitał

l – zatrudnienie

V – wysokość produkcji

D obór czynników K i L aby osiągnąć założony poziom produkcji należy znaleźć izokwanty czynników produkcji

Każdy punkt na tej krzywej to kombinacja K i L dająca produkcję Yzero. Tylko pewien łuk jest możliwy, dobieramy tak aby zminimalizować koszty. Trzeba znaleźć takie rozwiązanie aby mieć min kosztów lub max zysku.

Funkcja kosztów k i l

Należy podstawić wzór jednej z izokwant, policzyć pochodną i przyrównać do 0.

R- krańcowa stopa substytucji

R_k,l = ( )^1/α1

R_{k,l =} ( )^1/α2

Substytucja pracy przez kapitał

∆k= -

∆l = -

9. Prognostyczne modele popytu na dobra podstawowe I dobra wyższego rzędu

D obra podstawowe

1/Pt = Dt+α1/α0Dt

1/Pt = 1/α0 + α1/α0 * 1/Dt

1/Pt = Pt*

1/α0=A

1/Dt=Dt*

α1/α2=B

P owstaje funkcja liniowa aby oszacować A i B stosujemy metodę najmniejszych kwadratów, wyliczamy i powracamy do modelu pierwotnego.

Dobra wyższego rzędu

nie da się zastosować MNK (bo mamy alfa1 i za dużo czynników) wiec stosuje się interakcyjną metodę najmniejszych kwadratów

Umownie, że:

-α0(α1+α2)=B, to Pt=α0 + B* 1/Dt+αt

10. Liniowy I wykładniczy model trendu

LINIOWY:

F(x)=(x1t,x2t,..et)-model prosty, model symptomatyczny, nie ma charakteru przyczynowo-skutkowego

Yt=f(t,et), przy założeniu, że tendencja zmian się nie zmieni

Yt=a+bt – apaliczna postać funkcji trendu

a - wyraz wolny

bt – współczynnik kierunkowy

Yt- wartość zmiennej endogenicznej, rzeczywistej

A i b – parametry szacowane za pomocą metody najmniejszych kwadratów

Wykres:

Y^t – zmienne leżące na lini trendu stąd wzór na model trendu liniowego to:

Y^t =a+bt+et ; et- składnik losowy

Budujemy układ równań dla oszacowania parametrów a i b. Oszacowanie czy model się nadaje

ΣYt= na = b *Σt

Σt*Yt=a*Σt+b*ΣT2

Obliczenie minimum Σ(Yt-Y^t)2= minimum

Σ[Yt-(a+bt)2]= minimum <- wtedy bd najlepsze

Be=Σ(Yt-Y^t)2 / n ; be – błąd modelu, im większy błąd tym gorszy model, skrajny przypadek =0

Ve= Se/Yt *100% - względny błąd

t - średnia zmiennej czasowej

y – średnia zmiennej y

W celu oceny dopasowania oszacowanego modelu do danych empirycznych obliczamy: wariancję, odchylenie standardowe reszt, współczynnik zmienności reszt, współczynnik zbieżności i determinacji liniowej

YT= a + bT

Yn+1= a + bn+1

n+1 = T – określony przyszły okres na który budujemy prognozę, wartość prognozy T możemy obliczyć stosując zasadę nieobciążonej predykcji

WYKŁADNICZY MODEL TRENDU:

Równanie postaci funkcji trendu wykładniczego

Przy założeniu b>0, b≠1, (t=1,..,n)

Model trendu wykładniczego:

;

b>1 – to tendencja wzrostu

b<1 – to tendencja spadku

b=1

Tempo zmian obliczamy ze wzoru tempo=(b-1)*100%

Np. 1, 0378 oznacza wzrost o 3,78%

Y^t – modelowy poziom wskaźnika w okresie t

a i b parametry wyznaczone za pomocą MNK

t – zmienna reprezentująca czas

Aby móc wyznaczyć parametry a i b wzór na model wykładniczy trendu, sprowadzamy do postaci liniowej, logarytmując obie strony.

--

Budujemy układ równań:

ΣlnYt = nlna + lnβ * Σt

Σt * nlYt = lnaΣt + lnbΣt2