15 Момент инерции тела относительно оси

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется физическая величина, численно равная произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси вращения (Рисунок 10). I = mr2 Момент инерции - величина скалярная. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до оси вращения. I = mi∙ ri2 Для твердого тела, разбитого на элементарные массы ∆ mi, момент инерции относительно оси равен I = ∆ mi∙ ri2. Моменты инерции тел правильной геометрической формы могут быть легко вычислены. В Таблице 2 приведены результаты расчетов моментов инерции для тел правильной формы относительно оси вращения ОО', проходящей через их центр масс. Для расчета моментов инерции вращающихся тел вокруг оси, не проходящей через центр масс тела, можно использовать теорему Штейнера. Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси АА' равен сумме момента инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси АА', и произведения массы тела как целого на квадрат расстояния d между осями АА' и ОО' IАА' = IОО' + md2

16 Уравнение динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси

При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу mi тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9.2). Положение частицы зададим радиус-вектором относительно произвольного центра 0, лежащего на оси вращения. Ri — радиус окружности, по которой движется рассматриваемая точка. Vi = wRi — её линейная скорость. Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов: Уравнение (9.5) называется основным уравнением динамики для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Mz = Iz×ε Трудно не заметить сходство этого уравнения со вторым законом Ньютона для движения точки: Fz = maz Сравнивая эти два выражения, отметим, что в уравнении для вращательного движения в качества «силы» выступает момент силы, вместо линейного ускорения — угловое, вместо массы используется момент инерции Iz. Сходство этих уравнений можно продолжить, записав их иначе Здесь: Lz = Iz wx — момент импульса тела относительно оси z, Pz = mVz — проекция вектора импульса частицы на ось z. Во вращательном движении аналогом импульса Р является момент импульса L. Рассмотренные аналогии позволяют назвать уравнение (9.6) уравнением второго закона динамики (Ньютона) для вращательного движения: момент внешних сил, вращающих тело вокруг данной оси, равен моменту инерции тела относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела. Вернемся ещё раз к уравнению (9.4):

17Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить: Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна , где , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно. где - момент инерции тела относительно оси вращения. В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду где - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

18 закон сохранения момента импульса

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

19 гармонические и механические колебания и их кинетические характеристики

Механические колебания – это движения, которое точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени . Различают периодические и непериодические колебания. Периодическими называютколебания, при которых координата и другие характеристики тела описываютсяпериодическими функциями времени.

Гармоническими называются колебания, при которых описываемая физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение кинематики гармонических колебаний имеет следующий вид: x = A·cos(2p·t/T + f0), (9.1)где х - колеблющаяся величина,t - время;А, Т, f - константы для данного колебания, называемые параметрами. Гармонические колебания являются частным случаем периодических колебаний.Кинематические характеристики гармонических колебаний. Найдем скорость и ускорение при колебательном движении, описываемого уравнением: x = A·cos(w·t + f0).Поскольку скорость u - есть производная от координаты по времени, а ускорение a - соответствующая производная от скорости, то эти величины зависят от времени также по гармоническим законам:u = A·w·cos(w·t + f0); a = - A·w2·sin(w·t + f0) = - w2·x. (9.3)Выполнение соотношения (9.3) является характерным признаком гармонического колебательного движения. Для такого движения скорость опережает по фазе смещение на p/2, а ускорение - на p.