13 Момент силы относительно точки, момент силы относительно оси

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы . Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке. Если известен радиус-вектор r⃗ точки приложения силы F⃗ относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:M⃗O(F⃗)=r⃗×F⃗. Действительно, модуль этого векторного произведения:|M⃗O|=|r⃗×F⃗|=|r⃗||F⃗|sinα. В соответствии с рисунком |r⃗|sinα=h, поэтому:|M⃗O|=|F⃗|h. Вектор M⃗O, как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторам r⃗ и F⃗, которые принадлежат плоскости Π. Направление вектора M⃗O таково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение от r⃗ к F⃗ происходит по часовой стрелке. Другими словами, вектор M⃗O достраивает систему векторов (r⃗,F⃗) до правой тройки. Зная координаты точки приложения силы в системе координат, начало которой совпадает с точкой О, и проекцию силы на эти оси координат, момент силы может быть определен следующим образом:M⃗O=r⃗×F⃗=⎛⎝⎜i⃗xFxj⃗yFyk⃗zFz⎞⎠⎟=(yFz−zFy)i⃗+(zFx−xFz)j⃗+(xFy−yFx)k⃗.Момент силы относительно оси Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси. Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы F⃗ на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:Mz(F⃗)=Mz(F⃗Π)=±FΠh. Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F⃗Π. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком ``плюс'', иначе - ``минус''.

14 Момент ипульса относительно точки. Момент импульса относительно неподвижной оси вращения

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv - импульс материальной точки (рис. 1); L - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р. Модуль вектора момента импульса где α - угол между векторами r и р, l - плечо вектора р относительно точки О. Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri со скоростью vi . Скорость vi и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора mivi . Значит, мы можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. Монет импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: Используя формулу vi = ωri, получим т. е. Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен моменту инерции тела относительно той же оси, умноженному на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (2) по времени: т. е. Эта формула - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Можно показать, что имеет место векторное равенство