3.2.2.1. Теоремы z-преобразований.

1). Линейность Z-преобразований

(3.11)

2). Теорема о начальном значении аргумента оригинала

(3.12)

3). Теорема о конечном значении оригинала

(3.13)

4). Теорема о смещении

(3.14)

Z^-k означает значение функции в момент времени (t-kT₀)

3.2.2.2. Особенности дискретного преобразования Лапласа.

• . Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x(kT₀). Каждое значение x(kT₀) помножить на z^-k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму, которая представляет собой дискретное преобразование Лапласа x(z). Прямое z-преобразование является однозначным преобразованием непрерывного сигнала в дискретный. .

• Чтобы по известному изображению x(z) получить сигнал x(t), необходимо представить изображение x(z) в виде степенного ряда, числовые значения коэффициентов при степенях z^-k, которого и есть изображение x(kT₀). Этот этап также является однозначным.

• Переход x(kT₀) x(t) является неоднозначным, так как неизвестно поведение функции в промежутках между замыканием ключей.

3.3. Выбор шага квантования.

Очевидно, что выбор шага квантования является важнейшим вопросом при задачах синтеза и анализа импульсных систем. Если шаг квантования выбран достаточно большим, то может потеряется информация о непрерывном сигнале, Если шаг квантования выбран достаточным малым, то информация о непрерывном сигнале может быть избыточна. Правильный выбор помогает избежать вышеприведенных последствий. Выбор связан с СС спектром сигнала, получаемом на основе преобразование Фурье, Пусть непрерывный сигнал имеет ограниченную полосу частот и его преобразование Фурье удовлетворяет следующим условиям:

(3.15)

Тогда согласно теореме Котельникова-Шеннона непрерывный сигнал, спектр которого ограничен частотой , может быть без потери информации заменен последовательностью его дискретных значений, частота повторения которых не меньше удвоенной максимальной частоты :

(3.16)

Следовательно, для шага квантования должно выполняться условие:

(3.17)

Однако на практике выбор в соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона затруднителен в связи с дополнительными преобразованиями. Известно, что быстродействие системы определяется наименьшей постоянной времени, то есть максимальная частота спектра частот непрерывного сигнала обратно пропорциональна наименьшей постоянной времени. Исходя из этих соображений, выбор на практике может осуществляться следующим образом :

• для задач синтеза импульсных (цифровых) САУ:

(3.18)

• для задач моделирования импульсных (цифровых) САУ:

(3.19)

• для задач идентификации импульсных (цифровых) САУ:

(3.20)

3.4. Дискретная передаточная функция.

Как и для непрерывных систем, так и для импульсных систем наиболее удобно использовать передаточные функции.

Дискретной передаточной функцией последовательного соединения простейшего импульсного элемента и непрерывной части называется отношение - изображений выходного и входного сигналов при начальных нулевых условиях

(3.21)

Рис. 3.12.

Следует отметить, что дискретная передаточная функция устанавливает связь только между дискретными значениями непрерывных сигналов и , т. е. между

Рис. 3.13.

Дискретную преобразовательную функцию можно получить несколькими способами:

1). Прямой способ

Находится z-преобразование входного и выходного сигналов:

Определяется дискретная передаточная функция :

2). Через передаточную функцию непрерывной части:

(3.22)

3). Через импульсную переходную характеристику

(3.23)

Все эти методы так или иначе связаны с z-преобразованиями или таблицами z-преобразований. Однако на практике такие методы или громоздки в применении (1) или невозможно найти z-преобразование в таблицах z-преобразований. Тогда применяются приближенные методы определения дискретной передаточной функции.