3.2. Математическое описание дискретных систем.

Дискретные системы автоматического управления имеют три формы математического описания во временной области в виде:

• разностных уравнений вход-выход, являющихся аналогом дифференциальных уравнений;

• решетчатой функции, являющейся аналогом описания непрерывных сигналов при помощи импульсной переходной функции;

• разностных уравнений в переменных состояний, являющихся аналогом описания непрерывных систем в переменных состояния..

3.2.1. Разностные уравнения типа вход-выход.

Разностное уравнение часто используется для описания цифровых вычислительных средств.

Пусть динамика процесса описывается с помощью дифференциального уравнения:

(3.1)

Известно, что производная определяется как:

(3.2)

Тогда производные можно представить

(3.3)

Таким образом, дифференциальное уравнение примет вид:

или:

Число представляет собой выход в момент времени (интервал квантования обычно для простоты написания формул опускают). Числа характеризуют предыдущие значения выхода, запоминаемые в памяти ЭВМ. Аналогично, числа характеризуют вход в дискретные моменты , которые также хранятся в памяти машины. Уравнение называется разностным уравнением, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим значениям.

3.2.2. Решетчатая функция.

Решетчатая функция – функция, которую образуют ординаты непрерывной функции при дискретных равноотстоящих друг от друга значениях независимой переменной. Решетчатая функция существует только при дискретных значениях аргумента. То есть для описания импульсной системы с амплитудной модуляцией наилучшим образом подходит решетчатая функция. При этом непрерывный сигнал импульсным элементом преобразуется в последовательность импульсов , то есть в решетчатую функцию. Непрерывная функция является огибающей для решетчатой функции . Введем понятие единичного импульса , тогда последовательность неединичных импульсов может быть представлена в следующем виде:

(3.6)

Изображение Лапласа для i-того неединичного импульса имеет вид:

(3.7)

Так как для каждого фиксированного значения i величина , то ее можно вынести за знак интеграла. Согласно теореме запаздывания изображение смещенной -функции равно . Тогда выражение (7) можно переписать:

Тогда изображение по Лапласу всей последовательности импульсов равно :

(3.9)

Выражение (9) называется дискретным преобразованием Лапласа. Оно устанавливает соответствие между решетчатыми функциями и их изображениями. Введя новую перемену. , можно получить так называемое z-преобразование:

(3.10)

Таким образом, математически преобразование непрерывного сигнала в дискретный сигнал осуществляется следующим образом:

1. непрерывный сигнал заменяется последовательностью импульсов (решетчатая функция).

2. к решетчатой функции применяется z-преобразование

3. степенной ряд сворачивается в конечную сумму. Это конечная сумма и представляет собой дискретные преобразования Лапласа .

Пример

Получить Z-преобразование функции .

Рис. 3.11.

1. Решетчатая функция имеет вид

2. 

3. Конечная сумма ряда:

Для большинства встречающихся в задачах решетчатых функций z-преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным системам.

Простейшая таблица дискретных преобразований

x(t)	x(p)	x(z)
(t)	1	1
(t-iT)
1(t)	1/p
T	1/p2
T2	2!/p3

Свойства z-преобразования аналогичны свойствам обычного преобразования. Приведем важнейшие из них.