1.4.2. Получение матрицы перехода разложением в ряд

Решением дифференциального уравнения (1) является:

(45)

Вычислять до тех пор, пока: . (46)

Такой метод получения матрицы перехода легко реализуем на ЭВМ.

1.4.3. Получение матрицы перехода по схеме переменных состояния

Допустим, матрица перехода имеет вид:

(47)

Для i-го обобщенного вектора можно записать:

. (48)

Допустим, что в этом уравнении ; (49)

Элемент , матрицы перехода Ф(t) определяется по схеме переменных состояния как реакция i-й переменной на ед. ступеньку, поданную на j-ю переменную при прочих нулевых начальных условиях.

С точки зрения использования различных способов получения Ф(t), предпочтение отдается аналитическому способу и способу разложения в ряд, при этом аналитический способ дает явную формулу определения матрицы перехода, что позволяет использовать данную матрицу при различных значениях.

Если величина t является фиксированной, то удобнее использовать метод разложения в ряд, как наиболее экономичный.

1.5. Передаточные матрицы сау.

Пусть дана САУ, описанная в пространстве состояния:

(50)

Применяя к данной системе правила прямого преобразования Лапласа:

(51)

Выразив :

, (52)

где - единичная матрица;

- обратная матрица.

Можно уравнения для переписать в следующем виде:

(53)

Тогда матрица отражает передаточные свойства САУ и называется передаточной матрицей САУ. Если САУ одномерная, то есть имеет одну входную и одну выходную переменные, то передаточная матрица вырождается в передаточную функцию:

(54)

Матрица называется передаточной матрицей вход-состояние. Для определения характеристического уравнения САУ перепишем уравнение передаточной матрицы в следующем виде:

(55)

где - приведенная матрица;

- определитель матрицы .

Отсюда можно сделать вывод, что характеристическое уравнение системы определяется как :

Пример

Рассмотрим справедливость всех вышеизложенных определений на примере апериодического звена. Описание апериодического звена в пространстве состояния имеет вид:

По данной системе уравнений можно определить все матрицы следующим образом:

Передаточная матрица имеет вид:

2. Многомерные системы автоматического управления.

2.1. Управляемость и наблюдаемость систем автоматического управления.

При исследовании многомерных систем автоматического управлении, т. е. систем имеющих более одного входа и более одного выхода, кроме устойчивости и определения качества управления возникают проблемы, связанные с управляемостью и наблюдаемостью систем. Понятия управляемости и наблюдаемости были впервые введены Р. Калманом в 1960 г.

2.1.1. Управляемость систем.

Система является управляемой, если она может быть переведена из любого состояния при в любое другое желаемое состояние за конечный интервал времени путем задания (изменения) входного воздействия .

Понятие управляемости можно проиллюстрировать следующим примером.

Рис. 2.33.

Очевидно, что эта система является неуправляемой, так как управляющее воздействие влияет не на все переменные состояния (переменная состояния не поддается управлению).

Существуют специальные правила (критерии), которые позволяют определить по структуре и параметрам объекта управляемость.