1. Пространство состояния

Состоянием САУ называется та минимальная информация об объекте, которая позволяет спрогнозировать поведение системы в будущем при известных задающих воздействиях.

С точки зрения ТАУ, объект представляет собой черный ящик, характеризующийся рядом координат.

С

остояние объекта в любой момент времени определяется тремя векторными пространствами:

Рис. 2.1.

1. Векторное пространство входа определяет входные воздействия на объект.

2. Векторное пространство внутреннего состояния определяет реакцию системы на входное воздействие.

3. Векторное пространство выхода определяется выходными переменными.

Совокупность этих векторов определяет состояние системы (пространства состояния).

Для непрерывных линейных систем динамика и статика объекта описываются следующими уравнениями:

где A^* - матрица коэффициентов САУ;

B^* - матрица управления САУ;

C^* - матрица выхода САУ;

D^* - матрица обхода САУ.

Данное описание позволяет представить все стороны САУ:

• Первое уравнение описывает динамику САУ;

• Второе уравнение описывает статику САУ.

На практике бывает удобней объединить вектор входа и внутреннего состояния в один:

- обобщенный вектор состояния.

В итоге получим систему уравнений:

(2)

Тогда систему (*) можно представить в виде:

В пространстве состояния в качестве графического изображения системы применяются сигнальные графы и схемы переменных состояний.

1.1. Схемы переменных состояний (спс)

В основе СПС лежит единичный интегратор:

Рис. 2.2.

Схемы переменных состояния строятся по передаточной функции объекта. Существует три способа построения схем состояния:

• метод прямого программирования;

• метод параллельного программирования;

• метод последовательного программирования.

1.1.1. Метод прямого программирования

Используется, если описание САУ представлено в виде передаточной функции:

(3)

Числитель и знаменатель делим на коэффициент b₀, что позволяет определить знаменатель, как цепь обратных связей:

Схема переменных состояния строится с последовательной цепочки единичных интеграторов. Количество интеграторов равно п. Далее определяется обратная цепь по знаменателю преобразованной передаточной функции.

Рис. 2.3.

В методе пространства состояния (если нет иных оговорок) нумерация внутренних переменных идет с конца.

Пример:

Рассмотрим следующую передаточную функцию:

, преобразуем ее в

.

По данным строим схему:

Рис.2.4.

По данной схеме переменных состояния составим систему уравнений. Рассмотрим расширенный вектор:

, выходной же вектор - .

Допустим, что r(t) – единичная ступенчатая функция, тогда система уравнений будет иметь вид:

(9)

Для y(t) составим уравнение: . (10)

Определяем матрицу коэффициентов: . (11)

Матрица выхода: . (12)

Т.о., если записать в матричном виде, то получим уравнения:

. (13)

1.1.2. Метод параллельного программирования

Передаточная функция предварительно разбивается на сумму следующих дробей:

, (15)

при этом s+d=n – порядку системы; _i – это действительные полюса передаточной функции W(p); _j, _j – определяют комплексные полюса передаточной функции W(p).

Строим структурную схему:

Рис. 2.7.

Пример:

Схема состояния будет выглядеть следующим образом:

Рис. 2.8.

Составим систему уравнений:

Т.о. матрица коэффициентов А имеет следующий вид:

; а матрица .