4. Нелинейные системы
Система автоматического управления называется нелинейной, если хотя бы один ее конструктивный элемент (звено) описывается нелинейным уравнением.
Практически все реальные системы из-за таких элементов, как сухое и вязкое трение, насыщение, нечувствительность, гистерезис, упругость и др., являются нелинейными. Ученый Я.З. Цыпкин образно выразился: «Линейные системы – это небольшой островок в безбрежном океане нелинейных систем». Поэтому теорию линейных систем можно рассматривать как более или менее точную идеализацию реальных (нелинейных) систем.
Нелинейные системы по сравнению с линейными системами обладают следующими особенностями.
4.1. Особенности нелинейных систем:
В нелинейных системах при преобразовании не выполняется признак коммутативности, т.е. от изменения порядка преобразования изменяется выходной сигнал.
Рис. 4.1.
Выходной
сигнал
определяется как:
, (4.1)
где
- нелинейные функции.
Рис. 4.2.
(4.2)
Очевидно, что в общем случае
В нелинейных системах нарушается принцип суперпозиций
Рис. 4.3.
Выходной сигнал определяется как:
(4.3)
Рис. 4.4.
(4.4)
Очевидно, что в общем случае
Форма выходного сигнала в нелинейной системе зависит не только от формы входного сигнала, но и от его величины.
В
линейных системах форма выходного
сигнала, как реакция системы на тестовое
входное воздействие (например,
(рис. 4.5)), не зависит от величины входного
сигнала (
).(рис.
4.6)
х
Рис. 4.5.
Рис. 4.6.
В нелинейных системах форма выходного сигнала, как реакция системы на тестовое входное воздействие (например, (рис. 4.5)), может иметь различную форму в зависимости от величины входного сигнала ( ).(рис. 4.7.)
Рис. 4.7.
В нелинейной системе возможен режим автоколебания. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие из-за нелинейных свойств системы. Режим автоколебаний принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе при малейшем изменении ее параметров колебательный процесс становится либо затухающим, либо расходящимся. Автоколебания же являются устойчивым режимом: малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и величины входного сигнала. Автоколебания является нежелательным явлением для нелинейных систем, поэтому при исследовании устойчивости нелинейной системы важной задачей является исследование режима автоколебания, а именно /определение условий при которых возникают автоколебания.
Устойчивость линейной системы зависит от структуры и параметров линейной системы. Устойчивость нелинейной системы зависит не только от структуры и параметров, а также от вида и величины входного сигнала и начальных условий системы: система устойчивая при одних значениях входного воздействия, может оказаться неустойчивой при других его значениях. В связи с этим для нелинейных систем применяют понятия «устойчивость (неустойчивость) в малом», «устойчивость (неустойчивость) в большом», «абсолютная устойчивость или устойчивость в целом».
Система устойчива в малом, если она устойчива только при малых начальных отклонениях входного воздействия.
Система устойчива в большом, если она устойчива только при больших начальных отклонениях входного воздействия.
Система устойчива в целом, или абсолютно устойчива, если она устойчива только при любых начальных отклонениях входного воздействия.
В установившемся режиме в линейных системах частота выходного сигнала совпадает с частотой входного сигнала. В нелинейных системах выходной сигнал может содержать составляющие, частота которых выше или ниже частоты входного сигнала.
Частотные характеристики нелинейной системы зависят не только от структуры и параметров системы (как в линейной системе), но и от и величины входного сигнала и начальных условий.
Частотные характеристики нелинейной системы монгут иметь точки разрывов, что приводит к переходу с одного режима на другой.