3.11. Цифровой регулятор, оптимальный по быстродействию
Пусть
необходимо рассчитать цифровой регулятор,
обеспечивающий переходный процесс
конечной длительности
.
При этом правомерно потребовать, чтобы
длительность соответствовала порядку
уравнения неизменяемой части системы,
который определяется главным образом
объектом управления. Данное требование
можно записать так :
,
где - порядок характеристического полинома приведенной части.
Условием получения конечной длительности переходного процесса является равенство всех (кроме первого) коэффициентов характеристического уравнения нулю:
. (3.107)
Тогда уравнение (3.106) с учетом (3.107) можно переписать:
Так как дискретная передаточная функция приведенной части известна, то дискретная передаточная функция регулятора определяется следующим образом:
Полином
числителя
дискретной
передаточной функции цифрового регулятора
в данной задаче можно выбрать произвольным,
например:
,
где
- передаточный коэффициент регулятора;
-
передаточный коэффициент приведенной
части..
Тогда дискретная передаточная функция цифрового регулятора определится как:
В общем случае дискретная передаточная функция цифрового регулятора может быть записана как:
Соответственно уравнение для управляющего сигнала может быть записано как:
или
Выполнив
обратное
-преобразование,
получаем:
Данное
уравнение связывает текущее значение
дискретного управляющего воздействия
с текущим и предыдущими значениями
ошибки, а также с предыдущими значениями
управляющего воздействия. Данное
уравнение называется разностным
и может быть
легко реализовано средствами вычислительной
техники. Для реализации разностного
уравнения требуется выполнение операций
умножения, сложения и сдвига.
Рассмотренный метод обеспечивает оптимальный переходный процесс за счет выбора амплитуд управляющего воздействия на интервалах заданной продолжительности.
ПРИМЕР
Пусть
непрерывная часть системы представлена
последовательным соединением фиксирующего
элемента и двух идеальных интегрирующих
звеньев
.
Требуется рассчитать цифровой регулятор,
обеспечивающий минимальную длительность
переходного процесса при заданных
значениях
.=10
с и
0,01.
Дискретная передаточная функция приведенной системы имеет вид:
Характеристическое
уравнение дискретной передаточной
функции приведенной системы имеет
порядок
.
Тогда можно определить
и
.
Оптимальная дискретная передаточная функция цифрового регулятора рассчитывается как:
Разностное уравнение имеет вид:
Рассчитанный
цифровой регулятор обеспечивает
окончание переходного процесса за
3.13. Метод переменного коэффициента усиления.
Одгим и современных методов синтеза цифровых систем управления является метод переменного коэффициента усиления. Структурная схема цифровой системы автоматического управления (ЦСАУ) по методу переменного коэффициента усиления имеет вид:
Рис. 3.40.
На
структурной схеме представлены: объект
управления (
),
импульсный элемент (ключ), цифровой
регулятор (
),
фиксатор (экстраполятор нулевого
порядка). При реализации данной схемы
функции импульсного элемента, цифрового
регулятора и фиксатора выполняются
средствами вычислительной техники.
Данная ЦСАУ относится к системам
стабилизации, в которых управляемая
переменная x1(t)
с течением времени стабилизируется на
уровне задающего воздействия r(t).
Суть синтеза ЦСАУ сводится к расчету
цифрового регулятора
,
обеспечивающего максимальное
быстродействие
,
где
- порядок объекта, без перерегулирования
(
).
Цифровой регулятор имеет вид:
, (3.75)
где
-
- управляющая последовательность (выход
регулятора):
-
- ошибка регулирования.
Из
(75) видно, что звено
- представляет собой усилительное звено,
с переменным коэффициентом усиления
,
отсюда и название метода – метод
переменного коэффициента усиления.
Основой для синтеза является передаточная функция Объекта управления ( ) или структурная схема объекта управления. По исходным данным строится схема переменных состояния любым способом и составляются основные уравнения, описывающие поведение системы.
Начальным условием для синтеза является описание объекта либо передаточной функцией, либо структурной схемой. Далее строится схема переменных состояний цифровой системы управления любым методом.
Поведение системы описывается как:
В момент замыкания ключей система описывается уравнениями вида:
(3.76)
В момент между замыканиями ключей система описывается уравнениями вида:
(3.77)
Обобщенный
вектор может быть выбран в виде
или
.
I. Рассмотрим описание системы при обобщенном векторе
В момент замыкания ключей система описывается уравнениями вида:
(3.78)
Матрица ключей определяется в следующем виде:
, (3.79)
В момент между замыканиями ключей система описывается уравнениями вида:
(3.80)
Последнее уравнение преобразовать в ином виде (через матрицу перехода)
,
(3.81)
II. Если обобщенный вектор выбран в виде , то данные уравнения имеют вид:
В момент замыкания ключей:
, (3.82)
где
- неизвестное значение коэффициента
усиления, определяющее значение выходного
сигнала цифрового регулятора на шаге
,
которое необходимо вычислить исходя
из заданных показателей качества (
).
Матрица ключей определяется в следующем виде:
, (3.83)
где I – единичная матрица.
В момент между замыканиями ключей:
(3.84)
Последнее уравнение преобразовать в ином виде (через матрицу перехода)
,
(3.85)
где матрица перехода имеет следующий вид:
,
(3.86)
где Р – вектор (столбец размерностью n) определяет реакцию объекта на управляющую последовательность;
F - матрица перехода непосредственно объекта.(размерность матрица n*n).
Очевидно, что выбор предпочтителен, поскольку позволяет свести алгоритм синтеза до программируемого вида. Основные уравнения имеют вид:
(3.87)
Рассмотрим
уравнения системы, описывающие поведение
системы в течение интервала времени
.
В момент
в соответствии с заданными показателями
качества метода синтеза ЦСАУ методом
переменного коэффициента усиления
система должна прийти к установившемуся
значению.
В
момент времени
поведение системы описывается следующей
системой:
(3.88)
где
- управляющее воздействие цифрового
регулятора на интервале
(значение
- неизвестно, которое необходимо вычислить
исходя из заданных показателей качества
(
).).
В
момент времени
поведение системы описывается следующей
системой:
(3.89)
Для
последующего интервала
справедливо:
(3.90)
(3.91)
(3.92)
Исходя из заданных показателей качества в момент времени система приходит к установившемуся (желаемому ) значению:
(3.93)
Желаемое
значение
определяется исходя из следующих
соображений:
(входное
значение постоянно)
(ЦСАУ
– система стабилизации, то есть выходная
переменная
в установившемся режиме равна входной
переменной
).
Остальные
динамические переменные
в установившемся значении являются
величинами постоянными, поэтому они и
значение
определяются из уравнения:
(3.94)
Таким образом, значение обобщенного вектора состояния в момент времени определяется как:
(3.95)
Данное
уравнение представляет собой систему
линейных уравнений относительно
неизвестных
.
Разрешив данную систему уравнений,
определяется числитель передаточной
функции
,
где
(3.96)
Далее определяется знаменатель передаточной функции следующим образом:
где р1 – первый элемент вектора Р;
F1 – первая строка матрицы F.
(3.97)
Таким образом, определена передаточная функция цифрового регулятора . (3.98)
Однако
данная передаточная функция представляет
собой дробь, числитель и знаменатель
которой являются бесконечными суммами,
чтобы привести выражение к конечному
значению числитель и знаменатель
домножают на выражение
=
,
(3.99)
Так
как
,
то данное выражение приобретает вид:
(3.100)
Введя обозначения
,
,
,
,
.,
передаточную функцию цифрового регулятора
можно переписать:
(3.101)
Данная
цифровая САУ обеспечивает заданные
показатели качества (
)
и имеет следующие переходные процессы:
Рис. 3.41.
Цифровой регулятор реализуется в виде разностного уравнения.
,
(3.102)
которое получено следующим образом:
(3.103)
ПРИМЕР
Построить ЦСАУ методом переменного коэффициента усиления для объекта, представленного структурной схемой (Рис. 3.42.) (двигатель постоянного тока).
Рис. 3.42.
Параметры системы:
Схема переменных состояния цифровой системы представлена на Рис. 3.43.
Рис. 3.43.
Обобщенный вектор переменных состояния:
Начальные условия:
Данная система описывается следующими системами уравнений:
Выбираем
÷
Рассчитаем матрицу перехода:
Выделим
матрицы
Время переходного процесса определяется как:
Система уравнений, определяющих неизвестные управляющие последовательности, имеет вид:
(3.104)
Определим
Тогда система (104) имеет вид:
Решение данной системы уравнений
Управляющая последовательность имеет вид:
Определим ошибку
управления
Таким образом, цифровой регулятор имеет передаточную функцию:
,
где
