3.7.1. Уравнение переходных состояний для дискретно-непрерывных систем.
Рассмотрим
описание дискретно-непрерывной системы
в течение интервала времени
.
В
первый момент (момент замыкания ключей
)
система описывается с помощью матрицы
ключей
. (49)
В
момент между первым и вторым замыканием
ключей, т. е. на интервале времени
поведение системы описывается с помощью
матрицы перехода
(3.50)
или
(3.51)
Введем
матрицу
- дискретную матрицу перехода. Тогда
справедливо:
(3.52)
В
момент замыкания ключей
система описывается:
(3.53)
В
момент между вторым и третьим замыканием
ключей, т. е. на интервале времени
поведение системы описывается:
(3.54)
Нетрудно
заметить, что в момент времени
поведение системы будет писываться
следующим уравнением:
(3.55)
Данное уравнение называется уравнением переходных состояний и позволяет на основе известных матриц ключей и матрицы перехода в любой момент времени вычислить вектор состояния дискретно-непрерывной системы.
3.8. Устойчивость импульсных систем
Динамические свойства импульсных систем с амплитудной модуляцией во многом аналогичны динамическим свойствам непрерывных систем. Поэтому и методы анализа таких систем являются аналогами соответствующих методов исследования непрерывных систем.
Устойчивость
импульсных систем управления, как и
устойчивость непрерывной системы,
определяется характером ее свободного
движения. Импульсная система устойчива,
если свободная составляющая переходного
процесса
с течением времени затухает, т. е. если
(3.56)
Свободная
составляющая
является
решением однородного разностного
уравнения:
(3.57)
где
- характеристическое уравнение,
представляющее знаменатель дискретной
передаточной функции:
(3.58)
Решение уравнения (56) представляет собой сумму
, (3.59)
где
- постоянные интегрирования, зависящие
от начальных условий;
- корни характеристического уравнения
Из
выражения (59) видно, что при
решение
стремится к нулю лишь в том случае, если
все корни
по модулю меньше единицы, т. е. если
(3.60)
Отсюда можно сформулировать общее условие устойчивости: для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы находились внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3.34.).
Рис. 3.34.
Если
хотя бы один корень
располагается на окружности единичного
радиуса, то система находится на границе
устойчивости. При
система неустойчива.
Таким
образом, единичная окружность в плоскости
корней zk
является
границей устойчивости,
следовательно,
играет такую же роль, как и мнимая ось
в плоскости корней
(рис. 3.35.)
Рис. 3.35.
Этот вывод вытекает также из основной подстановки метода z-преобразования:
Действительно,
пусть
,
тогда
(3.61)
и требование сводится к неравенству
(3.62)
откуда следует известное в теории непрерывных систем условие сходимости:
(3.63)
Аналогично непрерывным системам устойчивость импульсных систем может определена с помощью специальных правил - критериев.