3.6. Описание дискретных систем в пространстве состояния

Основой для описания дискретных систем управления в переменных пространства состояния, как и для непрерывных систем, являются схемы переменных состояния. Для схемы переменных состояния непрерывных систем основой является единичный интегратор (рис. 3.27.)

Рис. 3.27.

Для схем переменных состояния дискретных систем основой является последовательное соединение импульсного элемента (ключа). Фиксирующего элемента и звена запаздывания

Рис. 3.28.

Построение схем переменных состояния дискретных систем аналогично построению схем переменных состояния непрерывных систем.

Для получения схему переменных состояний (СПС) дискретных систем (ДС) существует 3 способа:

1. Метод прямого программирования

2. Метод последовательного программирования

3. Метод параллельного программирования

3.6.1. Метод прямого программирования.

Методом прямого программирования стоятся схемы переменных состояния на основе заданной дискретной передаточной функции:

(3.39)

Схема переменных состояния дискретной системы строится аналогично схеме переменных состояния непрерывных систем.

a₀

Рис. 3.29.

Описание по схеме переменных состояния представляется в виде:

, (3.40)

где - переменные состояния дискретной системы (определяются всегда как выход звена ), определяющие поведение системы в момент после замыкания ключей;

- матрица ключей;

-- переменные состояния дискретной системы, определяющие поведение системы в момент до замыкания ключей.

Пример:

y(t)

Рис. 3.30.

Выбираем обобщенный вектор состояния:

Матрица ключей имеет вид:

3.6.2. Параллельное программирование.

Параллельное программирование используют, если W(p) представлено в виде

(3.41)

Рис. 3.31.

Уравнение составляются аналогично схеме переменных состояний методом прямого программирования.

3.6.3 Метод последовательного программирования.

Метод последовательного программирования применяется тогда, когда дискретная система представлена структурной схемой, отдельные звенья которой представляют простые элементы.

Схема переменных состояний составляется аналогично.

Описание в переменных состояния особенно удобно для описания дискретно-непрерывных систем.

3.7. Описание дискретно-непрерывных систем методом пространства состояний.

Рассмотрим описание в пространстве состояния следующей системы (рис. 3.32.)

Рис. 3.32.

Пусть непрерывная часть представлена передаточной функцией:

(3.42)

а дискретная часть – дискретной передаточной функцией:

(3.43)

Схема переменных состояния имеет вид:

-

-

Рис. 3.33.

При описании дискретно-непрерывных систем следует различать два момента:

• Описание системы в момент замыкания ключей (в этот момент срабатывает дискретная часть системы, непрерывная часть, являясь инерционной, не изменяется)

• Поведение системы в промежутке времени между замыканием ключей характеризуется изменением непрерывной части. Дискретная часть, благодаря фиксаторам, остается неизменной.

Чисто математически описание системы в момент замыкания ключей определяется матрицей B – матрицей ключей.

Описание системы в промежутке между замыканием ключей определяется матрицей А – матрицей коэффициентов.

Выбираем обобщенный вектор:

В момент замыкания ключей система описывается следующей системой:

(3.44)

Матрица ключей имеет вид:

В векторно-матричном виде описание имеет вид:

(3.45)

В момент между замыканием ключей

(3.46)

Как видно из описания переменные дискретной части остаются постоянными в течение всего времени , так как фиксаторы, работающие по принципу экстраполяторов нулевого порядка, сохраняют значение постоянными в течение всего интервала квантования. Входная переменная обычно имеет вид ступенчатого сигнала, поэтому также остается постоянной. Изменяются переменные , являющиеся переменными непрерывной части.

Описание в векторно-матричном виде:

(3.47)

или с использованием матрицы перехода:

(3.48)