1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
Рассмотрим три типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, т.е. позволяющие свести их решение или к интегрированию, или к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнение вида
решается последовательным двукратным
интегрированием правой части:
или
Заметим, что
уравнение n-го
порядка
решается последовательным n-кратным
интегрированием, понижая на каждом шаге
порядок уравнения. Окончательное решение
содержит n
произвольных постоянных.
Пример.
Решить уравнение
Решение. Последовательно интегрируя два раза данное уравнение, получим
2. Уравнение
вида
не содержащее явно искомой функции у,
подстановкой
где
новая
неизвестная функция приводится к
уравнению первого порядка:
где
.
Решая это уравнение, получаем общее
решение в виде
или
Общее решение уравнения будет иметь
вид
Пример.
Решить уравнение
.
Решение…
Положим
тогда
Уравнение перепишется:
или
или
Решим
ДУсРП путем интегрирования обеих частей,
получим
или
где
постоянная
Так
как
получим:
или
Интегрируя,
получим
или
общее
решение данного уравнения.
3.
Уравнение вида
,
не содержащее
явно независимую
переменную х,
подстановкой
где
новая
неизвестная функция приводится к
уравнению
,
где
Решая это уравнение, получим общее
решение
или
Общее решение уравнения будет иметь
вид
Пример.
Решить уравнение
Решение.
Положим
тогда
Уравнение перепишется:
или
или
Решим
ДУсРП, разделив обе части уравнения на
:
Интегрируя,
получим
или
где
постоянная
Так
как
получим:
или
Интегрируя,
получим
или
Положим
имеем
или
или
отсюда
общее
решение данного уравнения.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:
Если
постоянные числа, то уравнение будем
называть уравнением с постоянными
коэффициентами. Кроме этого, будем
считать что коэффициент при второй
производной равен 1. Положим
где
и
произвольные
числа.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ) называется уравнение вида
где и некоторые действительные числа.
Общее решение ЛОДУ находится достаточно просто, если известны, так называемые, линейно независимые частные решения этого уравнения.
Функции
и
называются линейно
независимыми
на множестве D,
если их отношение не является постоянной
величиной, то есть
или другими словами: не существует
такого постоянного числа
при котором выполнено равенство
В противном случае,
функции
и
называются линейно
зависимыми. Например,
функции
и
линейно
независимые, а функции
и
линейно
зависимые.
Обозначим
через
общее
решение однородного уравнения ().
Теорема
8.4.
(о структуре общего решения ЛОДУ второго
порядка). Если
и
–
два линейно независимые частные решения
ЛОДУ
то функция
общее решение этого уравнения, где
и
произвольные
постоянные.
Замечание:
Не существует общего метода
нахождения частных решений уравнения
,
когда коэффициент
переменные, но для случая, когда они
являются константами, Эйлером создан
очень удобный метод нахождения частных
решений.
Характеристические уравнения для ЛОДУ второго порядка
Будем искать
решение 
в виде
,
где k-const.
Очевидно, что
.
Подставим эти выражения в уравнение:
Уравнение
называется характеристическим
уравнением
дифференциального уравнения
.
Характеристическое уравнение есть алгебраическое квадратное уравнение, имеющее два корня и Эти корни, в зависимости от дискриминанта, могут быть действительными и не равными друг другу, действительными и равными и комплексно-сопряженными.
1.
т.е
корни действительные и не равные друг
другу.
По теореме общее решение ЛОДУ второго порядка имеет вид:
2.
т.е корни действительные и равные друг
другу.
По теореме общее решение ЛОДУ второго порядка имеет вид:
или
3.
т.е корни комплексно сопряженные числа:
По теореме общее решение ЛОДУ второго порядка имеет вид:
или
Пример.. Найти общее решение ЛОДУ второго порядка:
а)
б)
в)
Решение.
а) Составим характеристическое уравнение
для данного ЛОДУ:
Найдем корни квадратного уравнения
Корни действительные и не равные друг
другу. Следовательно, общее решение
ЛОДУ имеет вид:
б) Составим
характеристическое уравнение для
данного ЛОДУ:
Найдем корни квадратного уравнения
Корни действительные и равные друг
другу. Следовательно, общее решение
ЛОДУ имеет вид:
в) Составим
характеристическое уравнение для
данного ЛОДУ:
Найдем корни квадратного уравнения
где
Корни комплексные и сопряженные.
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет
вид:
Пример..
Найти частное решение уравнения,
удовлетворяющее заданному начальному
условию
Решение.
Составим характеристическое уравнение:
или
или
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет
вид:
Найдем частное
решение, путем вычисления
и
из системы
Найдем
Подставим в
и
получим
Тогда частное
решение примет вид:
