Тема 9. Дифференциальные уравнения

Лекция 9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения

План:

1. Понятие дифференциального уравнения и его решения.

2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.

3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.

При решении задач математики, физики, химии и других наук часто используют математические модели в виде уравнений, связывающих в качестве неизвестной некоторую функцию и ее производные различных порядков. Одно из наиболее простых дифференциальных уравнений – уравнение вида , лежит в основе задачи интегрального исчисления. Очевидно, что решение этого уравнения будет функция, определяемая через интеграл .

Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

Пример 8.(Радиоактивный распад). Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t, то этот закон можно записать так:

где скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «-» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «+» означает, что x возрастает со временем).

Пример. (Математическая модель демографического процесса). Из статистических данных известно, сто для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и Обозначим через число жителей региона в момент времени Прирост населения за время равен разности между родившихся и умерших за это время, то есть или где Переходя к пределу при получаем уравнение Общим решением этого уравнения будет функция где произвольная постоянная, которую можно определить исходя из численности населения в начальный момент времени. Функцию называют законом изменения численности населения с течением времени.

После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения.

1. Понятие дифференциального уравнения и его решения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию, ее производные различных порядков и независимые переменные.

Если разыскиваемая функция является функцией одной переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если нескольких переменных, дифференциальным уравнением в частных производных.

Предметом исследования данной темы являются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые часто называют просто как дифференциальные уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные различных порядков

(8.1)

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Например, и дифференциальные уравнения первого порядка;

дифференциальное уравнение второго порядка;

дифференциальное уравнение третьего порядка.

Решением или интегралом дифференциального уравнения (8.1) называется такая функция которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Наиболее часто применяемыми в приложениях являются дифференциальные уравнения первого порядка.