13. Краткая характеристика методов математического программирования.

Математическое программирование (оптимальное программирование) — область прикладной математики, объединяющая различные математические методы и дисциплины: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, выпуклое программирование и др. Общая задача математического программирования состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений. В самом общем виде эта задача записывается так:

max G(m),

meM

где—m=(m1,m2..mn) совокупность управляющих воздействий; М — область допустимых значений переменных; G — целевая функция.

Названные выше разнообразные дисциплины отличаются Друг от друга видом целевой функции G(m) и области М. Например, если G(m) и М — линейны, имеем задачу линейного программирования; если же дополнительно ставится условие, чтобы переменные были целочисленны — задача целочисленного программирования; если зависимость (т. е. форма G(m)) носит нелинейный характер — задача нелинейного программирования и т. д.

Пр: Линейное программирование - техника поиска максимального значения функционала, являющегося предметом известных линейных ограничений.

Пр: Выпуклое программирование представляет собой совокупность методов решения нелинейных экстремальных задач с выпуклыми функциями — раздел нелинейного программирования (т. е. дисциплины, занимающейся решением таких задач, в которых действуют не только линейные, но и другие, более сложные зависимости). Выпуклым этот вид математического программирования называется потому, что имеет дело с выпуклыми целевыми функциями (они минимизируются) и выпуклыми системами ограничений.

Общая задача выпуклого программирования состоит в отыскании такого вектора х (т. е. такой точки выпуклого допустимого множества), который доставляет минимум выпуклой функции f (х) или максимум вогнутой функции f (х). Для второго случая (выпуклая область допустимых значений и максимум вогнутой функции) ряд авторов используют термин «вогнутое программирование». Выпуклость (вогнутость) важна тем, что гарантирует нахождение оптимального решения задачи, так как здесь соответственно локальные и глобальный экстремумы обязательно совпадают. Критериями оптимальности в первом случае могут быть, например, издержки при различных сочетаниях факторов производства, во втором — величина прибыли при этих сочетаниях. Как видим, есть большое сходство между задачами выпуклого (вогнутого) и линейного программирования (последнее можно рассматривать как частный случай первого). Но нелинейность зависимостей делает задачу намного сложнее задачи линейного программирования, где результаты изменяются пропорционально (линейно) по отношению к затратам.

Основные проблемы математического программирования:

- определение необходимых и достаточных условий экстремума;

- разработка методов и алгоритмов решения различных задач, основанных на необходимых и достаточных условиях;

- анализ чувствительности полученных решений;

- оценка эффективности алгоритмов методов.