5. Ряды

(1) Признак сравнения рядов с положительными членами

Понятие числового положительного ряда

В общем виде положительный числовой ряд можно записать так:  . Здесь: – математический значок суммы;  – общий член ряда (запомните этот простой термин);  – переменная-«счётчик». Запись  обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас  , затем  , потом  , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной   иногда используется переменная   или  . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля  , с двойки  либо с любого натурального числа.

В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:  – и так далее, до бесконечности.

Будем считать, что ВСЕ слагаемые   – это неотрицательные ЧИСЛА. То есть, на данном уроке речь пойдет о положительных числовых рядах.

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.

Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, но эта статья была бы неполной без данной информации.

Признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда   и  . Если известно, что ряд   – сходится, и выполнено неравенство   (для  ), то ряд  тоже сходится.

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

Исследовать ряд на сходимость 

Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд:  . Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что всех значений   справедливо неравенство  .

Если  , то  Если  , то  Если  , то  Если  , то  …. И так далее.

Оформить решение можно так:  “ Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом  . Используем признак сравнения. Для рассматриваемых рядов выполнено неравенство  , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом  . ” В принципе, можно расписать и подробнее, указав, что неравенство выполняется для нескольких первых членов.

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд   сходится? А вот почему. В теории доказано, что ряд   сходится, значит, он имеет некоторую конечную сумму  :  . Если все члены ряда   меньше соответствующих членов ряда  , то ясен пень, что сумма ряда   не может быть больше числа  , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов:  ,  ,   и т.д.

! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Если есть минусы, то рассматриваемый признак сравнения может не дать результата. Например, рассмотрим ряд  . Попробуйте аналогично сравнить его со сходящимся рядом  , выпишите несколько неравенств для первых членов. Вы увидите, что неравенство   не выполняется и признак не дает нам ответа. Придется использовать другой признак, чтобы выяснить, сходится этот ряд или нет.

(2) Признак Даламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число  ,  , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме [править]

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если  , а если   — расходится.

Замечание. Если  , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство [править]

1. , тогда существует  , существует  , для любого  . Ряд из   сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из   сходится (по признаку сравнения).

2. , тогда существует  .   для любого  . Тогда   не стремится к нулю и ряд расходится.

(3) Интегральный признак Коши

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на  , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы [править]

Пусть для функции f(x) выполняется:  (функция принимает неотрицательные значения)  (функция монотонно убывает)  (соответствие функции ряду) Тогда ряд   и несобственный интеграл   сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства [править]

Набросок доказательства [править]

1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке

2. Площадь большей фигуры равна 

3. Площадь меньшей фигуры равна 

4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна 

5. Получаем 

6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Примеры [править]

•  расходится так как  .

•  сходится так как  .

Оценка остатка ряда [править]

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток   знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

с помощью несложных преобразований получаем:

.