(6) Градиент функции трех переменных. Уравнение касательной плоскости к поверхности уровня

и = f(x, у, z), заданной в некоторой обл. пространства (X Y Z), есть вектор с проекциями   обозначаемый символами: grad  где i, j, k — координатные орты. Г. ф. — есть функция точки (х, у, z), т. е. он образует векторное поле. Производная в направлении Г. ф. в данной точке достигает наибольшего значения и равна:   Направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции. Г. ф. в данной точке перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. Эффективность использования Г. ф. при литологических исследованиях была показана при изучении эоловых отл. Центральных Каракумов.

Уравнение касательной

Пусть имеется поверхность, заданная уравнением  . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку  , называется касательной плоскостью к поверхности в точке  .

Прямая, проведенная через точку   поверхности  , перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.

Если поверхность задана уравнением  , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке   записывается в виде: , а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде: .

(7) Дифференциал второго порядка, его представление как квадратичной формы

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y^/,y^//)=0 или   Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p²-4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая

,

общее решение однородного уравнения дается в виде

.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y^//+py^/+g(y)\h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y^/=z, y^//=z^/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z^/+pz=h(x).

(8) Формула Тейлора

 

        

        изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) ⁿ [то есть R_n (x) = an (x)(x—a) ⁿ, где an (x) → 0 при х → а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то R_n (x) можно представить в видах:

        

        ,

        где ξ и ξ₁ — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а Соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.