2. Определенный интеграл

1. Геометрическое определение интеграла. Геометрическое обоснование свойств.

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) 

Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z₁, z₂, ..., z_N. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

     Пусть из точек ξ₀, ξ₁, ..., ξ_n-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(z_i) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

     В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.

2. Производная интеграла по переменному верхнему пределу

Рассмотрим функцию   , заданную на отрезке   , и предположим, что она интегрируема на отрезке   . Тогда при любом   эта функция будет интегрируема на отрезке  и, следовательно, функция

определена при всех   . При   мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что   для любой функции   и точки   из её области определения. Итак, функция   равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции   , не обязательно непрерывной.

3. Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:  .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента   интеграл вида   является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию  , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство  .

Действительно, запишем приращение функции  , соответствующее приращению аргумента   и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:   где  .

Перепишем это равенство в виде  . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при  , то получим  . То есть,   - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как  , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла:  , следовательно,  . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b):  , то есть  . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница  .

Приращение функции принято обозначать как  . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид  .