14. Прямая и обратная пропорциональности.

Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их величин остается неизменным. С увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Определение. Частное величин, составляющих пропорцию, называетсякоэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности обозначается маленькой латинской буквой k.

Например:

• 1 : 10 = 0,5 : 5

• 10 : 100 = 5 : 50

• 0,1 : 1 = 0,05 : 0,5

Коэффициент пропорциональности во всех пропорциях k = 0,1.

Правило. Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной пропорционально (во столько же раз) увеличивает (уменьшает) и другую величину, то такие величины прямо пропорциональны.

Схематически прямую пропорциональность можно записать гак: «больше – больше» или «меньше – меньше». Примерами прямой пропорциональности служит зависимость скорости от пройденного пути, стоимости от веса товара.

Правило. Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной пропорционально (во столько же раз) уменьшает (увеличивает) и другую величину, то такие величины обратно пропорциональны.

Схематически обратную пропорциональность можно записать так: «больше – меньше» или «меньше – больше». Пример обратной пропорциональности: грузоподъемность одной машины и количество машин при перевозке одинакового объема груза.

15. Числовое выражение, значение числового выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства (с доказательством).

Числовым  выражением  называют  всякую  запись  из  чисел,  знаков    арифметических  действий  и  скобок,  составленную  со  смыслом.  

Алгебраическим  выражением  (буквенным  выражением)  называется    запись,  составленная  из  букв  и  знаков  арифметических  действий,    также   в  нее  могут  входить  числа  и  скобки.  Как  и  числовое  выражение алгебраическое  должно  быть  составлено  со  смыслом.     

В  буквенном  выражении    (520  - x  :  5)  ,  буква  x,  вместо  которой    можно  подставить  различные  числа,  называется  переменной.            Таким  образом,  переменная - это  буква,  входящая  в  алгебраическое    выражение,  которая  может  принимать  различные  значения.           Если  вычислить  значение  алгебраического  выражения,  заменив   переменные  какими-либо  числами,  мы  получим  значение  выражения    при данном  значении  переменных.     

Множество  значений,  которые  может  принимать  переменная,    не  лишая  выражения  смысла  называется  областью  определения    этого  выражения.              Рассмотрим  область  определения  для  выражений:     

x  –  11   - x  может  принимать  любые  значения    

11  :  x  -    любые  значения  за  исключением  нуля  (x  ≠  0)    

(x  +  5)  :  (x  –  2)  -  любые  значения  за  исключением  двух  (x  ≠  2)     

16. Выражение с переменной. Уравнение с одной переменной. Теоремы о равносильности уравнений (с доказательством).

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х.

Тогда высказывательная форма вида f(x) = g(x)называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение – это значит найти множество его корней.

Множество значений переменной, при которых выражения f(x) и g(x) имеют смысл, называется областью определения уравнения f(x) = g(x). 

Множество решений уравнения является подмножеством области его определения.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называются равносильными.

Замена уравнения равносильным ему уравнением называется преобразованием.

Преобразования, позволяющие получать равносильные уравнения, могут быть следующими:

1. Если к обеим частям уравнения f(x) = g(x), определенного на множестве Х, прибавить одно и то же выражение h(x), имеющее смысл на множестве Х, то получится уравнение f(x) + h(x) = g(x) + h(x), равносильное данному.

Из данного утверждения вытекают следствия, которые используются при решении  уравнений:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения f(x) = g(x), определенного на множестве Х, умножить на одно и то же выражение h(x), имеющее смысл на множестве Х и не обращающееся на нем в нуль, то получится уравнение f(x)× h(x) = g(x)× h(x), равносильное данному.

Из этого утверждения вытекает следствие:

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.