11. Импликация высказываний. Обратная, противоположная и обратная противоположной импликации. Эквиваленция высказываний.

Импликацией предикатов A (x) и B (x) называется предикат    множество истинности которого определяется равенством   где 

В том случае, когда импликация   истинна при всех значениях из множества X, говорят, что предикат B (x) логически следует из предиката A (x), и предикат B (x) называют необходимым условием для предиката A (x), а предикат A (x) – достаточным условием для B (x).

Если предикаты A (x) и B (x) на множестве X эквивалентны, то каждый из них называют необходимым и достаточным условием для второго.

Например, в импликации {если x   число натуральное, то оно целое}  предикат  B (x) = {x – число целое}  логически следует из предиката  A (x) = {x – число натуральное}. Следовательно, предикат B (x) является необходимым условием для предиката A (x), а предикат A (x) – достаточным для B (x).

Используя эти термины, импликацию {если число x натуральное, то оно целое} можно выразить так:

Для того чтобы число x было натуральным, необходимо, чтобы оно было целым.

Для того чтобы число x было целым, достаточно, чтобы оно было натуральным.

Часто приходится рассматривать предикаты, в которые входит не одна, а две и больше переменных. Они называются в зависимости от числа переменных двухместными, трехместными, ..., n-местными. Рассмотрим, например, следующие предложения, в которых под x и y понимают произвольные натуральные числа: 

A (x, y) = {x < y}, B (x, y) = {x + y = 10}, C (x, y) = {x делится на y}, D (x, y) = {x + y есть простое число}.

Мы ничего не можем сказать об истинности или ложности этих утверждений, пока не сказано, какие значения принимают x и y. Но если точно указано, чему равны x и y, каждое из сформулированных утверждений превращается в высказывание – для одних пар (x, y) истинное, для других ложное. Множество всех пар чисел (x, y), для которых данный двухместный предикат есть истинное высказывание, называется множеством его истинности.

Приведем примеры высказываний, получающихся из указанных предложений при конкретных значениях x и y:

A (1; 3) = {1 < 3} – истинное высказывание,

A (2; 2) = {2 < 2} – ложное высказывание,

A (5; 4) = {5 < 4} – ложное высказывание,

B (1; 3) = {1 + 3 = 10} – ложное высказывание,

B (8; 2) = {8 + 2 = 10} – истинное высказывание и т.д.

12. Понятие предиката. Область определения и множество истинности предиката. Операции над предикатами, множества истинности конъюнкции, дизъюнкции, импликации предикатов.

Предикат  - логическая функция, определенная на некотором множестве M, то есть такая n-местная функция p, которая каждому упорядоченному набору (x1, ..., x1) из множества M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое p(x1, ..., x1). В этом случае p называется n-местным предикатом на множестве M.

Из курса математической логики, нам известно, что высказывание обычно отождествляется с его истинностным значением 1 («истина») или 0 («ложь»). Исходя из этого, можно дать определение предиката для различной местности.

Пусть задано произвольное множество М ¹ Æ.

Определение. Одноместным предикатом р(х) на множестве М называется функция вида

. (5)

Двуместным предикатом p(x1,x2) на множестве М называется функция вида

  (6) и т.д.

Например, пусть в качестве множества M задано множество натуральных чисел N. Обозначим через p(x): .

Тогда, в зависимости от значения x, логическая функция p(x) принимает либо значение 1 («истина») либо значение 0 («ложь»). Действительно, при значениях x =2, 3, 5, 7, ... , функция p(x) = 1 и в случае, когда x = 4, 6, 8, 9, ... p(x) = 0.

В данном примере в качестве объекта рассматриваются элементы из множества натуральных чисел, а в качестве свойства взято «простое число», и это свойство обозначено через p.

Пусть, на множестве действительных чисел задан двуместный предикат p(x,y), означающие «x меньше y».

Этот предикат становится истинным или ложным высказыванием, если x и y заменить действительными числами: «2 меньше 10», «3 меньше 5», «1,9 меньше 0,9» и т.д. Как видим, в этом случае рассматривается отношения между элементами в множестве R. Тогда через p в данном случае обозначено отношение между объектами, где в качестве объектов взяты x и y.

Таким образом, другими словами, одноместный предикат отражает наличие или отсутствие того или иного свойства у объекта, а предикат от нескольких переменных выражает отношение между объектами в рассматриваемом множестве.

Пусть задано множество M - область определения предиката p(x1, ..., pn) (М ¹ Æ - произвольное множество).

Определение. Подмножество множества M, состоящее из тех значений переменных, при которых данный предикат превращается в истинностное высказывание, называется областью истинности предиката и обозначается следующим образом:

. (8)

Операции с предикатами

Пусть на множестве М ¹ Æ заданы предикаты p(x) и q(x).

Определение. Конъюнкцией предикатов p(x) и q(x) называется бинарный предикат, обозначаемый r(x) = p(x) Lq(x), который принимает значение «истина» для тех и только тех значений , при которых оба исходных предиката p(x) иq(x) превращаются в истинное высказывание.

Пусть M1 - множество истинности предиката p(x), M2 - множество истинности предиката q(x). Тогда множеством истинности предиката r(x) является множество вида:

. (9)

Определение. Дизъюнкцией предикатов p(x) и q(x) называется новый предикат, обозначаемый s(x) = p(x) V q(x), который принимает значение «истина» для тех и только тех значений xÎM, при которых хотя бы одно из высказываний (предикатов) p(x) и q(x) истинно.

  (10)

- множество истинности предиката s(x).

Определение. Отрицанием предиката p(x) с областью определения M называется предикат с той же областью определения, обозначаемый  , который принимает значение «истина» для тех и только тех значений xÎM, при которых p(x) есть ложное высказывание.

Множеством истинности предиката   является множество:

 (11)

Определение. Импликацией предикатов p(x) и q(x) называется новый предикат, обозначаемый z(x) = p(x) -> q(x), который принимает значение «ложь» для тех и только тех значений xÎM, при которых предикат p(x) является истинным высказыванием, а q(x) - ложным.

Множеством истинности предиката z(x) является множество:

. (12)