3. Пересечение множеств, свойства пересечения, дистрибутивность пересечения относительно объединения (с доказательством).

Пересечением множеств А и В называется множество АВ, состоящее только из тех элементов, которые входят и в множество А и в множество В. С=АВ={x| xA  xB}

1. Коммутативность: АВ=ВА.

2. Ассоциативность: (АВ)С=А(ВС).

3. Дистрибутивность: А(ВС)=(АВ)(АС).

Опр.1.2. Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В. 

Объединение множеств обозначается символами "+" и "∪": C=A∪B. Пусть, например, А={-6, -3, 0, 3, 6}, B={0,2, 4, 6, 8}. Тогда A∪B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}.Геометрически объединение множеств изображено.

Аналогично определяется объединение большего числа множеств.

Объединением множеств А₁, А₂, А₃, …, Аn (обозначение) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А₁, А₂, А₃, …, Аn.

Свойства операции объединения.

Теор. 1.1. Справедливы следующие равенства:

A∪B = B∪A (коммутативность);

(А∪B) ∪C = А (B∪C) (ассоциативность);

Если A⊇B, то А∪В= А, объединение А и пустого множества равно А.

 Док-во. Формулы, подобные формулам 1-2, обычно доказываются так. Берётся элемент, принадлежащий правой части равенства, и доказывается, что он принадлежит левой части. В результате для формулы 1, например, будет доказано, что A∪B ⊆ B∪A. Затем берётся элемент, принадлежащий левой части, и доказывается, что он принадлежит правой части равенства; для формулы 1 это будет означать, что B∪A ⊆ A∪B. Из включений A∪B ⊆ B∪A и B∪A ⊆ A∪B следует, что A∪B = B∪A.         Итак, пусть a ∈ А∪В. Это значит, что либо a ∈ А, либо a ∈ B, либо эти включения имеют место одновременно. Во всех трех случаях a ∈ B∪A. Включение A∪B ⊆ B∪A доказано. Пусть теперь a ∈ B∪A. Это значит, что либо a ∈ B, либо a ∈ A, либо эти включения имеют место одновременно. Во всех трех случаях a ∈ A∪B. Включение B∪A ⊆ A∪B доказано. Следовательно, A∪B = B∪A, что и требовалось доказать.

4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству. Дополнение к объединению и пересечению множеств (с доказательством).

Понятие множества является неопределяемым понятием. Его смысл разъясняется на примерах. Можно говорить о множестве жителей города Саратова, о множестве домов на конкретной улице, о множестве букв в слове «командир», о множестве натуральных чисел, меньших 20 и т. д.

Множества принято обозначать большими латинскими буквами, например, А, В, С, … , Х, Y, Z. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами . Их принято обозначать маленькими латинскими буквами: a , b , c , d . Если множество А состоит из элементов    a , c , k , то записывают это так: А = { a , c , k }.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Множество может быть задано перечислением всех его элементов или описанием характеристического свойства его элементов. Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Например, запись А = { х | х – житель  Саратова } означает, что множество А состоит из жителей  Саратова.

Множества, состоящие из чисел, называют числовыми множествами.

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

N о или Z о – множество целых неотрицательных чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

Между двумя множествами существует пять видов отношений. Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В =∅ . Например, А = { a , c , k }, В = { d , e , m , n }, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠∅ . Например, множества А = { a , c , k } и В = { c , k , m , n } пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c , k .

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В⊂ А)

Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами. Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 n  подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.

Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.