28. Смысл натурального числа и действий над натуральными числами, полученных в результате измерения величин (на примере длин отрезков).

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка.

Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок x состоит из отрезков x₁, x₂, …, x_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим Х. выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение: Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу отметим два замечания:

• при переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным.

• если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у - из b отрезков, тогда а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Практическая часть

Задача 1

Дано множество числовых выражений A={72-5; 19+8; 48:6; 37·2}, на котором задано отношение R: «значение выражения x не больше значения выражения y». Постройте граф отношения R, укажите свойства отношения R.

Решение

Для того, чтобы построить граф, нужно заметить, что если (x,y) принадлежит «R», то вершины x и y на графе для отношения «R» соединяет соответствующая дуга; если же (x,y) не принадлежит «R», то на графе не будет соединяющей эти вершины дуги. 

Задача 2

Используя соответствующие определения, покажите, что:

Сумма (лат. summa – итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

• а + b = b + а

2+4=4+2=6

Разность чисел а и b есть число, которое, будучи прибавлено к b, дает в сумме а. В высшем анализе разностью функции f(x) называют выражение f(x + h) – f(x), в котором букве х можно придавать различные значения, a h сохраняет одно и то же значение.

В нашем случае: 5+2 = 7.

Задача 3

Используя соответствующие определения, покажите, что

Умножение прямо пропорционально делению, поэтому в нашем случае:

Задача 4

Решите задачу: «Зал и коридор имеют одинаковую длину. Площадь зала равна 300м², а площадь коридора -120м². Чему равна ширина коридора, если ширина зала равна 10м, а зал и коридор имеют форму прямоугольника».

Решение

S₁ – площадь зала = 300 кв.м.

1)300: 10= 30 м длина зала

S₂ – площадь коридора=120 кв. м. 

2) 120:30= 4 м ширина коридора

Ответ: 4 метра

Задача 5

Вычислить: а) 253т 92кг: 23 – 9т 345кг; б) 4мин 7с · 15 +1мин 15с · 8.

Решение

а) 253т 92кг: 23 – 9т 345кг

б) 4мин 7с · 15 +1мин 15с · 8

65