22. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Определение частного через произведение. Правила деления суммы и произведения на число (с доказательством).

Произведением ц.н.ч. а и n называется ц.н.ч., определяемое следующим образом:

Теоретико-множественный смысл произведения: Если множества А1, А2…….Аn содержат по а элементов и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит an элементов.

Произведением натуральных чисел a и b называется натуральное число, равное числу элементов декартова произведения множеств А и В, где n(A)=a, n(B)=b. ab=n(A)n(B)=n(AB)

Умножение: Действие, с помощью которого находят произведение, называют умножением

Произведение трех и большего числа множителей: Произведением а1а2а3 называется произведение (а1а2)а3, т.е а1а2а3=(а1а2)а3. Аналогично а1а2а3а4=((а1а2)а3)а4., т.е. нахождение произведения любого конечного числа множителей сводится, в конечном счете, к нахождению произведения двух множителей.

Теорема о существовании и единственности произведения ц.н.ч.

a,nc c=an

Каковы бы ни были ц.н.ч. a и n, существует ц.н.ч. с, равное их произведению, и притом только одно.

Законы умножения

Коммутативный (переместительный)

a,bab=ba

От перестановки множителей значение произведения не меняется

Ассоциативный (сочетательный)

(a,b,c) (ab)c=a(bc)

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Следствие из коммутативного и ассоциативного законов умножения

Эти законы позволяют произвольно менять местами множители и группировать рядом стоящие множители, что упрощает вычисления

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения (вычитания) (распределительное свойство)

a,b,n (a+b)n=an+bn

(a-b)n=an-bn

23. Понятие отношения делимости целых неотрицательных чисел. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел (с доказательством).

Сумма, разность и произведение целых чисел всегда является целым числом, то есть, во множестве целых чисел всегда выполнимы действия сложения, вычитания и умножения. Иначе обстоит дело с делением. Действие деления во множестве целых чисел выполнимо не всегда.

Напомним, что разделить целое число a на целое число b – это значит найти такое k, при умножении которого на b получается a, то есть bk=a. Если для целых чисел a и b такое целое число k существует, то говорят, что a делится на b.

Определение. Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число k такое, что a= bk.

Если a делится на b, то b называется делителем числа a.

Например, -48 делится на 8, так как существует такое целое число k, что -48=8k, а именно k=-6; число 35 не делится на 4, так как не существует такого целого числа k, при котором верно равенство 35=4 k.

Вместо «a делится на b» говорят также: «a кратно b», «число b – делитель числа a», «число b делит a».

Обозначают: ab (b делит a), ab (a делится на b).

Отметим, что предложение «a делится на b» представляет собой некоторое высказывание о соотношении между этими числами.

Замечание: Понятие делимости относится только к целым числам. Для рациональных чисел аналогичное понятие было бы бессодержательным, так как для любых двух рациональных чисел a и b, где b0, всегда существует рациональное число, являющееся их частным. Поэтому в дальнейшем, говоря о делимости, под «числом» будет подразумеваться целое число.

Рассмотрим простейшие свойства делимости. Для любых целых чисел a, b, c справедливы следующие теоремы.

Теорема. Если и с – частное от деления, то с – единственное.

Теорема.

Теорема. Если и , то .

Теорема. Если и , то или a=b, или a = -b.

Теорема. Если и , то а=0.

Теорема. Если и а0, то .

Теорема. Для того чтобы необходимо и достаточно чтобы .

Теорема. Если , то .

Теорема. Если сумма чисел и к-1 слагаемое этой суммы делится на некоторое число с, то и к-ое слагаемое делится на с.

Свойства делимости находят применение при решении задач.

Примеры:

1. Пусть a делится на b и с делится на d. Выясним, делится ли произведение ac на bd.

Решение: Из определения делимости следует, что a= bk, с= dm, где k и

m – целые числа. Отсюда

aс=(bk)( dm)=(bd)( km).

Так как k и m – целые числа, то km является целым числом. Значит, существует такое целое число, при умножении которого на bd в произведении получается aс, то есть по определению, aс делится на bd.

2. Докажем, что при любом натуральном n, большем 1, число n +4 является составным.

Решение: Разложим сумму n +4 на множители:

n +4= n +4+4n -4 n =( n +2) -(2n) =( n +2+2n)( n +2-2n).

При nN и n>1 каждый из множителей является натуральным числом, большим 1. Для первого множителя это очевидно, для второго это модно доказать, выделив из него квадрат двучлена: n +2-2n= n -2n+1+1=(n-1) +1. Значит, при nN и n>1 число n +4 имеет два натуральных делителя, больших 1, то есть является составным числом.