21. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел, законы умножения (с доказательством). Определение произведения через сумму.

Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел

Произведением ц.н.ч. а и n называется ц.н.ч., определяемое следующим образом:

Теоретико-множественный смысл произведения: Если множества А1, А2…….Аn содержат по а элементов и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит an элементов.

Произведением натуральных чисел a и b называется натуральное число, равное числу элементов декартова произведения множеств А и В, где n(A)=a, n(B)=b. ab=n(A)n(B)=n(AB)

Умножение: Действие, с помощью которого находят произведение, называют умножением

Произведение трех и большего числа множителей: Произведением а1а2а3 называется произведение (а1а2)а3, т.е а1а2а3=(а1а2)а3. Аналогично а1а2а3а4=((а1а2)а3)а4., т.е. нахождение произведения любого конечного числа множителей сводится, в конечном счете, к нахождению произведения двух множителей.

Теорема о существовании и единственности произведения ц.н.ч.

a,nc c=an

Каковы бы ни были ц.н.ч. a и n, существует ц.н.ч. с, равное их произведению, и притом только одно.

Законы умножения

Коммутативный (переместительный)

a,bab=ba

От перестановки множителей значение произведения не меняется

Ассоциативный (сочетательный)

(a,b,c) (ab)c=a(bc)

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Следствие из коммутативного и ассоциативного законов умножения

Эти законы позволяют произвольно менять местами множители и группировать рядом стоящие множители, что упрощает вычисления

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения (вычитания) (распределительное свойство)

a,b,n (a+b)n=an+bn

(a-b)n=an-bn

Для того, что бы сумму двух чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

Частное: Пусть А - непустое конечное множество, которое разбито на С равномощных классов, в каждом из которых b элементов, причем n(A)=a, А1~А2~…~Аc, n(А1)=n(А2)=…n(Аc)=b. Число С таких классов называют частным от деления а на b (выполнено деление по содержанию).

Число элементов b в каждом из С классов разбиения называют частным от деления а на с (выполнено деление на равные части).

Частным натуральных чисел а и b называется натуральное число с, которое при умножении на b дает а, т.е. а:b=ca=bc

Связь между компонентами умножения

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Связь между компонентами деления

Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное

Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное

Существование и единственность частного: Для того, чтобы частное натуральных чисел а и b существовало, необходимо (но не достаточно), чтобы аb. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственное.

Отношения "больше в", "меньше в"

Если даны числа чисел а и b такие, что n(A)=a, n(B)=b. ab и множество А можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству В, то говорят, что число а больше числа b в с раз. (мы узнаем, сколько раз по b элементов содержится в а элементах)

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее из них разделить на меньшее.

8>4 в 2 раза, т.к. 8:4=2.

4<8 в 2 раза, т.к. 8:4=2.

Правила деления

Правило деления суммы на число: чтобы сумму разделить на число, можно каждое слагаемое разделить на это число и полученные частные сложить.

Правило деления числа на произведение: Если число а делится на числа b и c, то чтобы разделить а на произведение b и c, достаточно а:b (или на c), и частное разделить на с (или на b).

Правило умножения числа на частное двух чисел: Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель.

Деление с остатком

Разделить с остатком натуральное число а на натуральное число b - это значит найти пару целых неотрицательных чисел q и r таких, что a=bq+r, 0<r<b

Теорема: Каковы бы ни были натуральные числа а и b, существует и притом единственная пара целых неотрицательных чисел q и r, для которых выполнено равенство a=bq+r, 0<r<b, a-делимое, b-делитель, q-неполное частное, r-остаток.

Теоретико-множественный смысл деления с остатком: Пусть n(A)=a и множество А разбито на множества А1,А2,…Аq,R так, что А1~А2~Аq, множество R содержит элементов меньше, чем каждое множество А1, А2,…Аq. Тогда если n(А1)=n(А2)=…=n(Аq), n(R)=r, то a=bq+r, где 0<r<b, причем число q равночисленных множеств является неполным частным .