§ 13. Различные способы задания прямой
Пусть
- прямая в пространстве, точка
-
некоторая точка этой прямой. Любой
ненулевой вектор
,
параллельный этой прямой, называется
ее направляющим
вектором
.
Ясно, что прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, любые два из которых коллинеарны.
Тогда
векторы
и
коллинеарны:
=
, где
(1)
Таким образом,
чтобы задать прямую
достаточно задать ее точку
и направляющий вектор
.
=
.
Формула(1)
устанавливает взаимно однозначное
соответствие между точками прямой
и значением параметра
. Параметр
является
координатой точки
в
системе координат
на прямой
.
Возьмем какую-либо
аффинную систему координат
в пространстве, и пусть относительно
ее точки
и
имеют координаты
|
Сравнивая одноименные координаты векторов в формуле (1), получим:
|
,
.
Вектор
разложим по векторам базиса
:
.
,
,
(2)
.
Обратно (2) (1). Таким образом , уравнения (2) определяют прямую в пространстве. Они называются параметрическими уравнениями прямой.
2. Если , то исключая из уравнений (2), получим (3).
Если одна из
координат направляющего вектора
прямой
равна нулю, например,
,
то
d
|
В этом случае
прямая
параллельна плоскости
|
( в частности
.
Действительно, пусть
,
тогда
Так как
то
.
Если две координаты
направляющего вектора
прямой
равны нулю, например,
,
то
и
(2)
,
В этом случае
прямая
,
в частности
.
Уравнения (3), , называются каноническими уравнениями прямой.
3. Прямая
будет определена, если задать две её
различные точки
и
.
Вектор
служит направляющим вектором этой
прямой.
Уравнения прямой
можно записать в виде (2) и (3):
,
и
,
.
4. Прямая
может быть задана как линия пересечения
двух плоскостей
и
:
.
Пусть в аффинной системе координат
плоскости
и
определяются уравнениями:
,
(4)
(условие
пересечения
и
)
Система уравнений
(4) определяет прямую
.
Координаты
точки
являются решением системы уравнений
(4).
Если
-
какое -либо решение системы (4) то эта
система равносильна системе уравнений
Общее решение системы имеет вид:
,
,
Отсюда
,
,
(5)
Уравнения (5) являются параметрическими уравнениями прямой . Направляющий вектор прямой имеет координаты:
(определенные
с точностью до общего множителя
).
В прямоугольной
системе координат
,где
- векторы нормалей плоскостей
и
соответственно
,
).