Глава 2. Плоскости и прямые

§ 8. Различные способы задания плоскости

Вектор называется параллельным плоскости , если  / .

1. Пусть - какая-либо плоскость в пространстве, точка - некоторая точка этой плоскости, а векторы - неколлинеарны и параллельны плоскости .

Точка  когда векторы , компланарны, т.е. (, ) (1)

Таким образом, чтобы задать плоскость , достаточно задать одну её точку и пару неколлинеарных векторов и , параллельных плоскости. Плоскость

, заданную точкой и векторами и , будем обозначать:

Формула (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел . Из определения координат точки на плоскости следует, что параметры , являются координатами точки относительно аффинной системы координат на плоскости .

Пусть какая-либо аффинная система в пространстве и относительно неё точки и имеют координаты: , Разложим векторы и по векторам базиса :

,

Так как векторы и не коллинеарны, то

rang . (_*)

Сравнивая одноимённые координаты векторов в формуле (1), получим:

(2)

Обратно, (2) (1). Таким образом, уравнения (2) определяют плоскость в пространстве. Они называются параметрическими уравнениями плоскости.

2. Из формулы (1) следует, что определитель системы векторов относительно базиса равен нулю

т.е. . (3)

3. , (4)

где .

4. , где . (5)

Уравнение (5) первой степени, так как в силу условия (_*) по крайней мере одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Следовательно, всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно аффинной системы координат в пространстве.

Справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение (5) первой степени определяет некоторую плоскость в пространстве, если задана аффинная система координат .

 Так как уравнение (5) первой степени, то по крайней мере одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Пусть А 0. Тогда уравнение (5) можно представить в виде:

.

Обозначив будем иметь:

,

причём ранг матрицы

,

составленный из коэффициентов при и в системе , равен двум. Следовательно, уравнения , а значит, и уравнение (5) определяют плоскость , где , , . ■

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости Уравнения являются параметрическими уравнениями той же плоскости (при ).

3. Плоскость будет определена, если задать три её точки не лежащие на одной прямой: .

Пусть в аффинной системе координат точки имеют координаты: , , . Тогда плоскость определяется уравнением:

или в координатной форме:

. (6)

Если, в частности, точки являются точками пересечения плоскости с осями координат соответственно и плоскость не проходит через начало координат , то эти точки имеют координаты: , , , , то уравнение (6) принимает вид: ,

или , и называется уравнением плоскости «в отрезках».