§ 7. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами

1. Зададим в пространстве аффинную систему координат и рассмотрим выражение , содержащее хотя бы одну из координат точки относительно систем координат . Это выражение позволяет определить несколько фигур в прсотанстве:

,

,

,

,

,

.

Не исключено, что некоторые из этих фигур будут пустыми множествами.

Пример 1. Пусть . Тогда

- плоскость Оху .

- полупространство, ограниченное плоскостью , содержащее точку А_{3 ,} из которого удалены точки этой плоскости.

х у

- все точки пространства без точек плоскости (Оху).

Пример 2. .

Имеем: , - все точки пространства.

Уравнение (или неравенство), которому удовлетворяют координаты любой точки М фигуры Ф относительно заданной системы координат в пространстве и не удовлетворяют координаты любой точки N, не принадлежащей фигуре Ф, называется уравнением (или неравенством ), определяющим фигуру Ф в данной системе координат. Уравнение, определяющее фигуру Ф называют также уравнением фигуры Ф в данной системе координат.

Так уравнение z=0 есть уравнение плоскости (Оху) в заданной системе координат .

2. Пусть = 0 уравнение фигуры , а =0 уравнение фигуры в одной и той же системе координат .

Система уравнений

определяет в фигуру - пересечение фигур и . Система

определяет фигуру , где

= 0 и т . д..

Например, система уравнений

определяет в прямоугольной системе координат множество общих точек плоскости = и сферы радиуса с центром .

Если  r , то есть плоскость Оху удалена от центра сферы на расстояние, которое меньше радиуса сферы, то плоскость Оху пересекает сферу по окружности радиуса с центром и, следовательно, заданная система уравнений определяет эту окружность.

Если = , то есть плоскость Оху и сфера имеют единственную общую точку : = .

Если  , то есть плоскость Оху и сфера не имеют общих точек : =  .

3. Если в заданной системе координат уравнения =0 и =0 определяют соответственно фигуры и , то уравнение

=0

определяют в фигуру . При этом говорят, что фигура распадается на фигуры и .

Например, уравнение х у = 0 определяет в заданной аффинной системе координат фигуру, которая распадается на две плоскости : Оуz, определяемую уравнением х=0 , и Охz, определяемую уравнением у = 0.

25